Номер 14, страница 171, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 17. Энергия и работа. Потенциальная и кинетическая энергии - номер 14, страница 171.

Условие.

14. Постоянная равнодействующая $\vec{F}$ сил, приложенных к телу массой $\text{m}$, направлена вдоль начальной скорости тела $\vec{v_1}$. Конечную скорость тела обозначим $\vec{v_2}$. Используя определение работы силы, второй закон Ньютона и формулы для равноускоренного движения, докажите, что изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей приложенных к этому телу сил:

$\frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = A_{\text{рд}}$

Это утверждение называют теоремой об изменении кинетической энергии1). Рассмотрим примеры использования этой теоремы.

Решение 2.

Дано:

$\text{m}$ - масса тела

$\vec{v_1}$ - начальная скорость тела

$\vec{v_2}$ - конечная скорость тела

$\vec{F}$ - постоянная равнодействующая сила, действующая на тело

Условие: вектор силы $\vec{F}$ сонаправлен с вектором начальной скорости $\vec{v_1}$ ($\vec{F} \uparrow\uparrow \vec{v_1}$).

Найти:

Доказать, что $\frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = A_{рд}$.

Решение:

1. Начнем с определения работы. Работа $A_{рд}$, совершаемая постоянной равнодействующей силой $\vec{F}$ при перемещении тела на вектор $\vec{s}$, вычисляется по формуле:

$A_{рд} = F \cdot s \cdot \cos\alpha$

где $\text{F}$ и $\text{s}$ - модули векторов силы и перемещения соответственно, а $\alpha$ - угол между ними.

По условию задачи, сила $\vec{F}$ постоянна и направлена вдоль начальной скорости $\vec{v_1}$. Следовательно, тело будет двигаться прямолинейно и равноускоренно, а вектор перемещения $\vec{s}$ будет сонаправлен с вектором силы $\vec{F}$. Это означает, что угол $\alpha$ между силой и перемещением равен нулю ($\alpha = 0$), и $\cos(0) = 1$.

Таким образом, формула для работы упрощается:

$A_{рд} = Fs$ (1)

2. Используем второй закон Ньютона, который гласит, что равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение:

$F = ma$ (2)

Подставим выражение (2) в формулу (1):

$A_{рд} = (ma)s = mas$ (3)

3. Теперь воспользуемся формулой для равноускоренного движения, которая связывает начальную скорость $v_1$, конечную скорость $v_2$, ускорение $\text{a}$ и перемещение $\text{s}$ (при движении по прямой):

$v_2^2 - v_1^2 = 2as$

Из этой формулы выразим произведение $as$:

$as = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$ (4)

4. Подставим выражение (4) в нашу формулу для работы (3):

$A_{рд} = m \cdot (as) = m \cdot \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$A_{рд} = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$

Выражение $\frac{mv^2}{2}$ является определением кинетической энергии тела ($E_k$). Следовательно, $\frac{mv_2^2}{2}$ - это конечная кинетическая энергия ($E_{k2}$), а $\frac{mv_1^2}{2}$ - начальная кинетическая энергия ($E_{k1}$).

Таким образом, мы доказали, что работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела:

$A_{рд} = E_{k2} - E_{k1} = \Delta E_k$

Это и есть теорема об изменении кинетической энергии.

Ответ:

Используя определение работы силы, второй закон Ньютона и формулу для перемещения при равноускоренном движении, было доказано, что изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей всех сил, приложенных к этому телу: $\frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = A_{рд}$.