Номер 18, страница 173, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 17. Энергия и работа. Потенциальная и кинетическая энергии - номер 18, страница 173.

Условие.

18. Брусок массой $m = 400$ г соскользнул с наклонной плоскости высотой $h = 20$ см. В конце спуска скорость бруска $v = 1$ м/с.

а) Найдите работу действующей на брусок при спуске силы трения скольжения с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.

б) Найдите работу действующей на брусок при спуске силы трения скольжения с помощью законов Ньютона.

Какой способ проще?

Решение 2.

Дано:

Масса бруска $m = 400$ г
Высота наклонной плоскости $h = 20$ см
Скорость бруска в конце спуска $v = 1$ м/с
Начальная скорость бруска $v_0 = 0$ м/с (так как он соскользнул)
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$m = 0.4$ кг
$h = 0.2$ м

Найти:

$A_{тр}$ — работу силы трения скольжения.

Решение:

а) Найдите работу действующей на брусок при спуске силы трения скольжения с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии гласит, что изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на это тело:$ \Delta E_k = A_{всех сил} $

Изменение кинетической энергии равно разности конечной и начальной кинетических энергий:$ \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} $Поскольку брусок начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$, следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k1} = 0$.$ \Delta E_k = \frac{mv^2}{2} $

На брусок при спуске действуют три силы: сила тяжести ($mg$), сила нормальной реакции опоры ($\text{N}$) и сила трения скольжения ($F_{тр}$). Суммарная работа всех сил равна сумме работ этих сил:$ A_{всех сил} = A_g + A_N + A_{тр} $

Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ всегда перпендикулярна направлению движения, поэтому ее работа равна нулю: $A_N = 0$. Работа силы тяжести $A_g$ при спуске с высоты $\text{h}$ является работой консервативной силы и равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком, или просто $mgh$:$ A_g = mgh $Работу силы трения $A_{тр}$ нам нужно найти.

Приравнивая изменение кинетической энергии к работе всех сил, получаем:$ \frac{mv^2}{2} = mgh + A_{тр} $

Выразим отсюда работу силы трения:$ A_{тр} = \frac{mv^2}{2} - mgh $

Подставим числовые значения:$ A_{тр} = \frac{0.4 \text{ кг} \cdot (1 \text{ м/с})^2}{2} - 0.4 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.2 \text{ м} $$ A_{тр} = 0.2 \text{ Дж} - 0.784 \text{ Дж} = -0.584 \text{ Дж} $

Ответ: $ A_{тр} = -0.584 $ Дж.

б) Найдите работу действующей на брусок при спуске силы трения скольжения с помощью законов Ньютона.

Для решения этим способом рассмотрим движение бруска вдоль наклонной плоскости. Пусть плоскость составляет угол $\alpha$ с горизонтом. Длина спуска по наклонной плоскости будет $\text{s}$. Связь между высотой и длиной: $h = s \cdot \sin(\alpha)$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости вниз:$ ma = mg \sin(\alpha) - F_{тр} $где $\text{a}$ – ускорение бруска, $mg \sin(\alpha)$ – проекция силы тяжести, $F_{тр}$ – сила трения.

Так как движение равноускоренное и начинается из состояния покоя ($v_0 = 0$), конечная скорость и пройденный путь связаны соотношением из кинематики:$ v^2 - v_0^2 = 2as \implies v^2 = 2as $Отсюда ускорение $ a = \frac{v^2}{2s} $.

Подставим выражение для ускорения во второй закон Ньютона:$ m \frac{v^2}{2s} = mg \sin(\alpha) - F_{тр} $

Работа силы трения по определению равна $ A_{тр} = -F_{тр} \cdot s $, так как сила трения направлена против движения. Из этого выражения $ F_{тр} = -\frac{A_{тр}}{s} $. Подставим это в наше уравнение:$ m \frac{v^2}{2s} = mg \sin(\alpha) - (-\frac{A_{тр}}{s}) $$ m \frac{v^2}{2s} = mg \sin(\alpha) + \frac{A_{тр}}{s} $

Домножим обе части уравнения на длину спуска $\text{s}$:$ \frac{mv^2}{2} = mgs \sin(\alpha) + A_{тр} $

Учитывая, что $s \sin(\alpha) = h$, получаем:$ \frac{mv^2}{2} = mgh + A_{тр} $

Мы пришли к тому же уравнению, что и в пункте а), которое является, по сути, законом изменения энергии. Выразим работу силы трения:$ A_{тр} = \frac{mv^2}{2} - mgh $

Вычисления будут идентичны:$ A_{тр} = 0.2 \text{ Дж} - 0.784 \text{ Дж} = -0.584 \text{ Дж} $

Ответ: $ A_{тр} = -0.584 $ Дж.

Какой способ проще?

Первый способ (а), использующий теорему об изменении кинетической энергии, является более простым и прямым. Он позволяет сразу связать начальное и конечное энергетические состояния системы с работой всех действующих сил, не требуя детального рассмотрения динамики и кинематики движения (ускорения, угла наклона, длины пути). Второй способ (б) требует последовательного применения второго закона Ньютона и кинематических формул, что приводит к более длинным математическим выкладкам для получения того же самого результата.