Номер 14, страница 183, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 14, страница 183.

Условие.

14. Небольшой шар массой $\text{m}$ висит на лёгком стержне длиной $\text{l}$ (рис. 18.4, а). Стержень может вращаться без трения вокруг точки подвеса $\text{O}$. Шару сообщают начальную горизонтальную скорость $\vec{v}_0$, в результате чего стержень с шаром начинает вращаться вокруг точки $\text{O}$ (рис. 18.4, б).

a) Какие слова в описании ситуации позволяют считать, что полная механическая энергия шара сохраняется?

б) Обозначим скорость шара в верхней точке $v_1$. Запишите уравнение, которое выражает сохранение механической энергии шара.

в) Выразите скорость шара в верхней точке через $v_0$ и $\text{l}$.

г) Какую скорость надо сообщить шару в нижней точке, чтобы он совершил полный оборот вокруг точки $\text{O}$?

Рис. 18.4

Решение 2.

а) Считать, что полная механическая энергия шара сохраняется, позволяют слова «лёгком стержне» и «без трения». Условие «лёгкий стержень» означает, что можно пренебречь массой и, следовательно, кинетической и потенциальной энергией самого стержня. Условие «без трения» означает, что в системе отсутствуют диссипативные силы (силы трения), работа которых приводила бы к уменьшению механической энергии. Сила реакции стержня всегда перпендикулярна вектору скорости шара, поэтому её работа равна нулю. Сила тяжести, действующая на шар, является консервативной силой. Таким образом, в системе действуют только консервативные силы, и полная механическая энергия сохраняется.
Ответ: Слова «лёгком стержне» и «без трения».

Дано:
Масса шара: $\text{m}$
Длина стержня: $\text{l}$
Начальная скорость шара в нижней точке: $v_0$
Скорость шара в верхней точке: $v_1$

Найти:
б) Уравнение сохранения механической энергии.
в) Скорость $v_1$ через $v_0$ и $\text{l}$.
г) Минимальную начальную скорость $v_{0,min}$, чтобы шар совершил полный оборот.

Решение

б) Запишем закон сохранения полной механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение шара.
В начальный момент (в нижней точке) высота шара $h_0 = 0$, а скорость равна $v_0$. Полная механическая энергия в этот момент равна:
$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mg \cdot 0 = \frac{1}{2}mv_0^2$
В верхней точке траектории высота шара относительно начального положения составляет $h_1 = 2l$, а его скорость равна $v_1$. Полная механическая энергия в этот момент:
$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg(2l)$
Согласно закону сохранения механической энергии, $E_0 = E_1$. Таким образом, уравнение, выражающее сохранение энергии, имеет вид:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + 2mgl$
Ответ: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + 2mgl$

в) Выразим скорость $v_1$ из уравнения, полученного в пункте б).
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + 2mgl$
Сократим массу $\text{m}$ и умножим обе части уравнения на 2:
$v_0^2 = v_1^2 + 4gl$
Выразим $v_1^2$:
$v_1^2 = v_0^2 - 4gl$
Тогда скорость $v_1$ равна:
$v_1 = \sqrt{v_0^2 - 4gl}$
Ответ: $v_1 = \sqrt{v_0^2 - 4gl}$

г) Для того чтобы шар на стержне совершил полный оборот, он должен достичь верхней точки траектории. В отличие от нити, жёсткий стержень может работать на сжатие, поэтому скорость шара в верхней точке может быть равна нулю. Таким образом, минимальное условие для совершения полного оборота — это достижение верхней точки, то есть скорость $v_1$ должна быть действительным неотрицательным числом ($v_1 \ge 0$).
Это эквивалентно условию $v_1^2 \ge 0$. Используя результат из пункта в), получаем:
$v_0^2 - 4gl \ge 0$
$v_0^2 \ge 4gl$
Минимальная начальная скорость $v_{0,min}$ соответствует равенству:
$v_{0,min}^2 = 4gl$
$v_{0,min} = \sqrt{4gl} = 2\sqrt{gl}$
Ответ: $v_0 = 2\sqrt{gl}$