Номер 19, страница 185, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 19, страница 185.

Условие.

19. Шар массой 2 кг подвешен к пружине жёсткостью 200 Н/м. Шар медленно поднимают до положения, при котором пружина становится недеформированной, и отпускают без толчка. Чему будет равна скорость шара при прохождении положения равновесия?

Решение 2.

Дано:

Масса шара, $m = 2 \text{ кг}$
Жёсткость пружины, $k = 200 \text{ Н/м}$
Начальная скорость, $v_1 = 0 \text{ м/с}$ (так как шар отпускают без толчка)
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Скорость шара при прохождении положения равновесия, $v_2$.

Решение:

Положение равновесия — это положение, в котором сила тяжести, действующая на шар, уравновешивается силой упругости пружины. Обозначим растяжение пружины в положении равновесия как $\Delta x_{eq}$.

По второму закону Ньютона для положения равновесия:

$F_{упр} = F_{тяж} \implies k \Delta x_{eq} = mg$

Отсюда найдем величину растяжения пружины:

$\Delta x_{eq} = \frac{mg}{k} = \frac{2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{200 \text{ Н/м}} = \frac{20 \text{ Н}}{200 \text{ Н/м}} = 0.1 \text{ м}$

Для нахождения скорости шара в положении равновесия воспользуемся законом сохранения механической энергии. Система "шар-пружина-Земля" является замкнутой, и на нее действуют только консервативные силы (сила тяжести и сила упругости), поэтому полная механическая энергия системы сохраняется.

$E_1 = E_2$

где $E_1$ — полная механическая энергия в начальном положении (пружина не деформирована), а $E_2$ — полная механическая энергия в положении равновесия.

Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии силы тяжести положение равновесия шара.

В начальном состоянии шар отпускают из положения, где пружина не деформирована. Это положение находится на высоте $h_1 = \Delta x_{eq}$ над положением равновесия. Начальная скорость шара $v_1 = 0$. Деформация пружины в этом положении также равна нулю.

Энергия системы в начальном состоянии:

$E_1 = E_{k1} + E_{pg1} + E_{pe1} = \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 + \frac{k \cdot 0^2}{2} = 0 + mg\Delta x_{eq} + 0 = mg\Delta x_{eq}$

В конечном состоянии шар находится в положении равновесия, поэтому его высота над нулевым уровнем $h_2 = 0$. Скорость шара равна $v_2$, а растяжение пружины составляет $\Delta x_{eq}$.

Энергия системы в положении равновесия:

$E_2 = E_{k2} + E_{pg2} + E_{pe2} = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 + \frac{k(\Delta x_{eq})^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2} + 0 + \frac{k(\Delta x_{eq})^2}{2}$

Приравниваем энергии $E_1$ и $E_2$:

$mg\Delta x_{eq} = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{k(\Delta x_{eq})^2}{2}$

Из условия равновесия мы знаем, что $mg = k\Delta x_{eq}$. Подставим это выражение в левую часть уравнения:

$k\Delta x_{eq} \cdot \Delta x_{eq} = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{k(\Delta x_{eq})^2}{2}$

$k(\Delta x_{eq})^2 = \frac{mv_2^2}{2} + \frac{k(\Delta x_{eq})^2}{2}$

Выразим кинетическую энергию:

$\frac{mv_2^2}{2} = k(\Delta x_{eq})^2 - \frac{k(\Delta x_{eq})^2}{2} = \frac{k(\Delta x_{eq})^2}{2}$

$mv_2^2 = k(\Delta x_{eq})^2$

Отсюда находим скорость $v_2$:

$v_2 = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \Delta x_{eq}$

Подставим числовые значения:

$v_2 = \sqrt{\frac{200 \text{ Н/м}}{2 \text{ кг}}} \cdot 0.1 \text{ м} = \sqrt{100 \text{ с}^{-2}} \cdot 0.1 \text{ м} = 10 \text{ с}^{-1} \cdot 0.1 \text{ м} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: скорость шара при прохождении положения равновесия будет равна 1 м/с.