Номер 9, страница 180, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 9, страница 180.

Условие.

°9. Шар массой $\text{m}$ прикреплён к пружине жёсткостью $\text{k}$, а пружина прикреплена к стене, как показано на рисунке 18.2. В начальном положении (1) растяжение пружины равно $\text{x}$, а скорость шара равна нулю.

а) Как изменяются энергия упругой деформации пружины и кинетическая энергия шара при его переходе из начального положения 1 в положение равновесия 2?

б) Чему равны кинетическая энергия шара и потенциальная энергия пружины, когда шар находится в положении 1?

в) Чему равны кинетическая энергия шара и потенциальная энергия пружины, когда шар проходит положение равновесия 2?

г) Выразите скорость шара при прохождении положения равновесия 2 через $\text{x}$, $\text{k}$ и $\text{m}$.

Рис. 18.2

Решение 2.

Дано:

Масса шара: $\text{m}$

Жёсткость пружины: $\text{k}$

Растяжение пружины в положении 1: $\text{x}$

Скорость шара в положении 1: $v_1 = 0$

Найти:

а) Как изменяются энергия упругой деформации пружины ($E_p$) и кинетическая энергия шара ($E_k$).

б) Кинетическую энергию шара ($E_{k1}$) и потенциальную энергию пружины ($E_{p1}$) в положении 1.

в) Кинетическую энергию шара ($E_{k2}$) и потенциальную энергию пружины ($E_{p2}$) в положении 2.

г) Скорость шара ($v_2$) в положении 2.

Решение:

а) Как изменяются энергия упругой деформации пружины и кинетическая энергия шара при его переходе из начального положения 1 в положение равновесия 2?

При движении шара из положения 1 в положение 2 растяжение пружины уменьшается от значения $\text{x}$ до нуля. Энергия упругой деформации пружины, или потенциальная энергия, вычисляется по формуле $E_p = \frac{kx^2}{2}$. Так как деформация $\text{x}$ уменьшается, то и потенциальная энергия пружины уменьшается. Под действием силы упругости пружины шар ускоряется, его скорость увеличивается от 0 до максимального значения в положении равновесия. Кинетическая энергия шара, вычисляемая по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$, следовательно, увеличивается. Происходит переход потенциальной энергии пружины в кинетическую энергию шара.

Ответ: Энергия упругой деформации пружины уменьшается, а кинетическая энергия шара увеличивается.

б) Чему равны кинетическая энергия шара и потенциальная энергия пружины, когда шар находится в положении 1?

В начальном положении 1 скорость шара по условию равна нулю ($v_1 = 0$). Следовательно, его кинетическая энергия $E_{k1}$ равна:

$E_{k1} = \frac{m v_1^2}{2} = \frac{m \cdot 0^2}{2} = 0$

В положении 1 пружина растянута на величину $\text{x}$. Потенциальная энергия пружины $E_{p1}$ при этом равна:

$E_{p1} = \frac{k x^2}{2}$

Ответ: Кинетическая энергия шара равна 0, потенциальная энергия пружины равна $\frac{kx^2}{2}$.

в) Чему равны кинетическая энергия шара и потенциальная энергия пружины, когда шар проходит положение равновесия 2?

В положении равновесия 2 пружина не деформирована, её растяжение равно нулю. Следовательно, её потенциальная энергия $E_{p2}$ равна нулю:

$E_{p2} = \frac{k \cdot 0^2}{2} = 0$

Так как в системе отсутствуют силы трения, выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная энергия в положении 1 равна полной энергии в положении 2:

$E_1 = E_2$

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$

Подставим известные значения из пункта (б) и найденное значение $E_{p2}$:

$0 + \frac{kx^2}{2} = E_{k2} + 0$

Отсюда находим кинетическую энергию шара в положении 2:

$E_{k2} = \frac{kx^2}{2}$

Ответ: Кинетическая энергия шара равна $\frac{kx^2}{2}$, потенциальная энергия пружины равна 0.

г) Выразите скорость шара при прохождении положения равновесия 2 через x, k и m.

Мы знаем, что кинетическая энергия шара в положении 2 равна $E_{k2} = \frac{kx^2}{2}$. Также кинетическая энергия определяется формулой $E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2}$, где $v_2$ – скорость шара в положении 2.

Приравняем эти два выражения:

$\frac{mv_2^2}{2} = \frac{kx^2}{2}$

Домножим обе части уравнения на 2 и разделим на $\text{m}$:

$v_2^2 = \frac{kx^2}{m}$

Чтобы найти скорость $v_2$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v_2 = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = x\sqrt{\frac{k}{m}}$

Ответ: $v_2 = x\sqrt{\frac{k}{m}}$.