Номер 30, страница 187, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 30, страница 187.

Условие.

30. Между двумя лежащими на гладком столе брусками массами $m_1 = 700 \text{ г}$ и $m_2 = 100 \text{ г}$ находится сжатая пружина (рис. 18.9). Бруски соединены нитью. У какого бруска кинетическая энергия будет больше, когда нить пережгут? Во сколько раз больше? Чему она будет равна, если потенциальная энергия сжатой пружины равна 400 Дж?

Рис. 18.9

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 700 \text{ г}$

$m_2 = 100 \text{ г}$

$E_п = 400 \text{ Дж}$

Перевод в систему СИ:
$m_1 = 0.7 \text{ кг}$
$m_2 = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

1. У какого бруска кинетическая энергия $E_к$ будет больше?

2. Во сколько раз будет больше кинетическая энергия $E_{к2} / E_{к1}$?

3. Чему будет равна большая кинетическая энергия?

Решение:

Система, состоящая из двух брусков и пружины, является замкнутой, так как они лежат на гладком столе и внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы. Следовательно, для этой системы выполняются законы сохранения импульса и энергии.

До того, как нить пережгли, система покоилась, поэтому ее начальный импульс был равен нулю: $p_{нач} = 0$.

После того, как нить пережгли, пружина распрямилась и сообщила брускам скорости $v_1$ и $v_2$, направленные в противоположные стороны. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы останется равным нулю:

$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = 0$

В проекции на ось, направленную вдоль движения брусков, это равенство для модулей импульсов будет выглядеть так:

$m_1 v_1 = m_2 v_2$

Отсюда видно, что импульсы брусков по модулю равны. Обозначим модуль импульса каждого бруска как $\text{p}$: $p = m_1 v_1 = m_2 v_2$.

Кинетическая энергия тела может быть выражена через его импульс по формуле:

$E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$

Поскольку импульсы $\text{p}$ у обоих брусков одинаковы, то кинетическая энергия будет больше у того бруска, у которого меньше масса. Так как $m_2 < m_1$, то кинетическая энергия второго бруска $E_{к2}$ будет больше, чем у первого $E_{к1}$.

Найдем отношение кинетических энергий:

$\frac{E_{к2}}{E_{к1}} = \frac{p^2 / (2m_2)}{p^2 / (2m_1)} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{0.7 \text{ кг}}{0.1 \text{ кг}} = 7$

Кинетическая энергия второго бруска будет в 7 раз больше.

По закону сохранения энергии, потенциальная энергия сжатой пружины $E_п$ полностью переходит в суммарную кинетическую энергию брусков:

$E_п = E_{к1} + E_{к2}$

Мы знаем, что $E_{к2} = 7 E_{к1}$. Подставим это в закон сохранения энергии:

$E_п = E_{к1} + 7 E_{к1} = 8 E_{к1}$

Отсюда $E_{к1} = \frac{E_п}{8} = \frac{400 \text{ Дж}}{8} = 50 \text{ Дж}$.

Тогда большая кинетическая энергия (энергия второго бруска) равна:

$E_{к2} = 7 \cdot E_{к1} = 7 \cdot 50 \text{ Дж} = 350 \text{ Дж}$.

Проверка: $E_{к1} + E_{к2} = 50 \text{ Дж} + 350 \text{ Дж} = 400 \text{ Дж} = E_п$.

---

У какого бруска кинетическая энергия будет больше, когда нить пережгут?

Кинетическая энергия обратно пропорциональна массе при одинаковом импульсе. Так как масса второго бруска ($m_2 = 100 \text{ г}$) меньше массы первого ($m_1 = 700 \text{ г}$), его кинетическая энергия будет больше.
Ответ: Кинетическая энергия будет больше у бруска с массой $m_2 = 100 \text{ г}$.

Во сколько раз больше?

Отношение кинетических энергий равно обратному отношению масс: $\frac{E_{к2}}{E_{к1}} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{700}{100} = 7$.
Ответ: В 7 раз больше.

Чему она будет равна, если потенциальная энергия сжатой пружины равна 400 Дж?

Большая кинетическая энергия $E_{к2}$ составляет $\frac{7}{8}$ от всей энергии пружины: $E_{к2} = \frac{7}{8} E_п = \frac{7}{8} \cdot 400 \text{ Дж} = 350 \text{ Дж}$.
Ответ: 350 Дж.