Номер 4, страница 191, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 4, страница 191.

Условие.

4. Висящему на нити длиной $\text{l}$ шарику массой $\text{m}$ сообщают толчком такую скорость, что он начинает двигаться по окружности в вертикальной плоскости. На рисунке 19.6 показаны последовательные положения шарика через равные промежутки времени. Обозначим $v_{\text{Н}}$ — модуль скорости шарика в нижней точке траектории, а $v_{\text{В}}$ — модуль его скорости в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Рис. 19.6

а) Может ли скорость шарика в верхней точке траектории быть равной нулю?

б) Почему в верхней части рисунка последовательные положения шарика расположены на меньших расстояниях друг от друга, чем на нижней?

в) Изобразите на чертеже силы, действующие на шарик в верхней и нижней точках траектории. Силы натяжения нити в этих точках обозначьте соответственно $\vec{T}_{\text{В}}$ и $\vec{T}_{\text{Н}}$.

г) Запишите в проекциях на ось $\text{x}$ уравнение второго закона Ньютона для шарика, находящегося в верхней точке траектории. Ось $\text{x}$ направьте из положения шарика к центру окружности.

д) Найдите выражение для минимально возможной скорости шарика в верхней точке траектории.

е) С каким ускорением движется шарик в верхней точке траектории, когда его скорость равна минимально возможной?

ж) Запишите в проекциях на ось $\text{x}$ уравнение второго закона Ньютона для шарика, находящегося в нижней точке траектории. Ось $\text{x}$ направьте из положения шарика к центру окружности.

з) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения энергии в механике при движении шарика от нижней точки траектории до верхней.

и) Найдите выражение для минимально возможной скорости шарика в нижней точке траектории, при которой он может двигаться по окружности в вертикальной плоскости.

к) Найдите выражение для минимальной силы натяжения нити в нижней точке траектории.

Итак, для того чтобы можно было крутить грузик на верёвочке в вертикальной плоскости, необходимо, чтобы нить выдерживала силу, более чем в 6 раз превосходящую действующую на грузик силу тяжести.

л) С каким по модулю ускорением движется шарик в нижней точке траектории при минимально возможной скорости? Как направлено это ускорение?

Решение 2.

Дано:

Масса шарика: $\text{m}$

Длина нити (радиус окружности): $\text{l}$

Скорость в нижней точке: $v_н$

Скорость в верхней точке: $v_в$

Система единиц СИ не требуется, так как решение в общем виде.

Найти:

а) Может ли $v_в = 0$?

б) Почему в верхней части траектории шарики ближе друг к другу?

в) Силы, действующие на шарик в верхней и нижней точках.

г) Уравнение второго закона Ньютона для верхней точки.

д) Выражение для $v_{в,min}$.

е) Ускорение в верхней точке при $v_{в,min}$.

ж) Уравнение второго закона Ньютона для нижней точки.

з) Уравнение закона сохранения энергии.

и) Выражение для $v_{н,min}$.

к) Выражение для силы натяжения в нижней точке при $v_{н,min}$.

л) Ускорение в нижней точке при $v_{н,min}$.

Решение:

а)

Нет, скорость шарика в верхней точке траектории не может быть равна нулю. Если бы скорость была равна нулю, то для движения по окружности требовалась бы центростремительная сила, равная нулю ($F_ц = m v^2 / l = 0$). Однако в верхней точке на шарик действует сила тяжести $mg$, направленная вниз. Чтобы шарик двигался по окружности, сила натяжения нити $T_в$ и сила тяжести $mg$ вместе должны создавать необходимое центростремительное ускорение ($T_в + mg = m v_в^2 / l$). Если $v_в = 0$, то $T_в + mg = 0$, что невозможно, так как сила натяжения не может быть отрицательной ($T_в \ge 0$), а $mg > 0$. При $v_в = 0$ шарик просто упал бы вниз, не продолжая движение по окружности.

Ответ: Нет, не может.

б)

На рисунке показаны положения шарика через равные промежутки времени. Расстояние между соседними положениями равно пути, пройденному шариком за этот промежуток времени. Согласно закону сохранения механической энергии, при движении шарика вверх его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) уменьшается. При движении вниз — наоборот. Поэтому скорость шарика в верхней части траектории меньше, чем в нижней. За одинаковые промежутки времени шарик проходит меньшее расстояние там, где его скорость меньше, то есть в верхней части траектории.

Ответ: Это происходит потому, что скорость шарика в верхней части траектории меньше, чем в нижней.

в)

В верхней точке траектории на шарик действуют две силы, направленные вертикально вниз к центру окружности: сила тяжести $\vec{F_т} = m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T_в}$.
В нижней точке траектории на шарик действуют две силы, направленные по вертикали в противоположные стороны: сила натяжения нити $\vec{T_н}$, направленная вверх к центру окружности, и сила тяжести $\vec{F_т} = m\vec{g}$, направленная вниз.

Ответ: В верхней точке: сила тяжести и сила натяжения нити, обе направлены вниз. В нижней точке: сила натяжения нити направлена вверх, а сила тяжести — вниз.

г)

В верхней точке траектории на шарик действуют сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $T_в$. Обе силы направлены к центру окружности. Ось $\text{x}$ также направлена к центру окружности (вниз). Сумма проекций сил на эту ось равна $T_в + mg$. Эта равнодействующая сила сообщает шарику центростремительное ускорение $a_ц = v_в^2 / l$. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{net} = ma_ц$

$T_в + mg = m \frac{v_в^2}{l}$

Ответ: $T_в + mg = m \frac{v_в^2}{l}$.

д)

Минимально возможная скорость в верхней точке соответствует условию, когда нить вот-вот провиснет, то есть сила ее натяжения становится равной нулю ($T_в = 0$). Подставим это условие в уравнение из пункта (г):

$0 + mg = m \frac{v_{в,min}^2}{l}$

$mg = m \frac{v_{в,min}^2}{l}$

Сократив массу $\text{m}$, получим:

$g = \frac{v_{в,min}^2}{l}$

$v_{в,min}^2 = gl$

$v_{в,min} = \sqrt{gl}$

Ответ: $v_{в,min} = \sqrt{gl}$.

е)

Ускорение шарика при движении по окружности является центростремительным и равно $a_ц = v^2 / l$. В верхней точке при минимально возможной скорости $v_в = v_{в,min} = \sqrt{gl}$ ускорение будет:

$a = \frac{v_{в,min}^2}{l} = \frac{(\sqrt{gl})^2}{l} = \frac{gl}{l} = g$

Ускорение направлено к центру окружности, то есть вертикально вниз.

Ответ: Ускорение равно $\text{g}$ и направлено вертикально вниз.

ж)

В нижней точке траектории на шарик действуют сила натяжения нити $T_н$, направленная к центру окружности (вверх), и сила тяжести $mg$, направленная от центра (вниз). Направим ось $\text{x}$ к центру окружности (вверх). Проекция силы натяжения на ось $\text{x}$ равна $T_н$, а проекция силы тяжести равна $-mg$. Равнодействующая сила равна $T_н - mg$. Эта сила сообщает шарику центростремительное ускорение $a_ц = v_н^2 / l$. По второму закону Ньютона:

$F_{net} = ma_ц$

$T_н - mg = m \frac{v_н^2}{l}$

Ответ: $T_н - mg = m \frac{v_н^2}{l}$.

з)

Применим закон сохранения механической энергии. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии в нижней точке траектории ($h_н=0$). Тогда высота шарика в верхней точке будет $h_в = 2l$.

Полная механическая энергия в нижней точке: $E_н = K_н + U_н = \frac{1}{2}mv_н^2 + 0$

Полная механическая энергия в верхней точке: $E_в = K_в + U_в = \frac{1}{2}mv_в^2 + mgh_в = \frac{1}{2}mv_в^2 + 2mgl$

Так как сопротивлением воздуха пренебрегаем, полная механическая энергия сохраняется: $E_н = E_в$.

$\frac{1}{2}mv_н^2 = \frac{1}{2}mv_в^2 + 2mgl$

Ответ: $\frac{1}{2}mv_н^2 = \frac{1}{2}mv_в^2 + 2mgl$.

и)

Минимальная скорость в нижней точке ($v_{н,min}$) — это такая скорость, при которой шарик достигает верхней точки с минимально возможной скоростью $v_{в,min} = \sqrt{gl}$ (найденной в пункте д). Подставим это значение в закон сохранения энергии из пункта (з):

$\frac{1}{2}mv_{н,min}^2 = \frac{1}{2}m(v_{в,min})^2 + 2mgl$

$\frac{1}{2}mv_{н,min}^2 = \frac{1}{2}m(\sqrt{gl})^2 + 2mgl$

$\frac{1}{2}mv_{н,min}^2 = \frac{1}{2}mgl + 2mgl$

$\frac{1}{2}v_{н,min}^2 = \frac{5}{2}gl$

$v_{н,min}^2 = 5gl$

$v_{н,min} = \sqrt{5gl}$

Ответ: $v_{н,min} = \sqrt{5gl}$.

к)

Сила натяжения нити в нижней точке находится из уравнения, полученного в пункте (ж): $T_н = mg + m \frac{v_н^2}{l}$. Чтобы найти силу натяжения, соответствующую минимально возможной скорости для полного оборота, подставим $v_н = v_{н,min} = \sqrt{5gl}$:

$T_н = mg + m \frac{(\sqrt{5gl})^2}{l}$

$T_н = mg + m \frac{5gl}{l}$

$T_н = mg + 5mg = 6mg$

Ответ: Сила натяжения равна $6mg$.

л)

В нижней точке траектории ускорение шарика является центростремительным и направлено к центру окружности (вертикально вверх). Его модуль равен $a = v_н^2 / l$. При движении с минимально возможной скоростью $v_н = v_{н,min} = \sqrt{5gl}$ модуль ускорения будет:

$a = \frac{v_{н,min}^2}{l} = \frac{(\sqrt{5gl})^2}{l} = \frac{5gl}{l} = 5g$

Ответ: Модуль ускорения равен $5g$, ускорение направлено вертикально вверх.