Номер 9, страница 194, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 9, страница 194.

Условие.

9. В нижней точке горизонтально расположенного закреплённого цилиндра радиусом 30 см лежит небольшая шайба (рис. 19.9). Трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь.

а) Чему равен модуль наименьшей начальной горизонтально направленной скорости, которую надо сообщить шайбе, чтобы она совершила полный оборот по окружности?

б) Чему равен модуль начальной горизонтально направленной скорости, которую надо сообщить шайбе, чтобы она оторвалась от цилиндра на высоте 40 см?

Рис. 19.9

Решение 2.

Дано:

Радиус цилиндра: $r = 30 \text{ см}$

Высота отрыва (для пункта б): $h = 40 \text{ см}$

Ускорение свободного падения (примем): $g = 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$r = 0,3 \text{ м}$

$h = 0,4 \text{ м}$

Найти:

а) Наименьшую начальную скорость $v_{0,a}$ для совершения полного оборота.

б) Начальную скорость $v_{0,b}$, при которой шайба оторвется на высоте $\text{h}$.

Решение:

а) Чтобы шайба совершила полный оборот, она должна пройти верхнюю точку траектории, не теряя контакта с поверхностью цилиндра. Условием непрерывного движения по окружности является наличие силы реакции опоры $N \ge 0$. Наименьшая начальная скорость соответствует случаю, когда в верхней точке сила реакции опоры становится равной нулю ($N = 0$).

Запишем второй закон Ньютона для шайбы в проекции на радиальную ось в верхней точке траектории. В этой точке на шайбу действуют сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $\text{N}$, обе направлены к центру окружности (вниз).

$N + mg = \frac{mv_{top}^2}{r}$

При $N = 0$ получаем:

$mg = \frac{mv_{top}^2}{r} \implies v_{top}^2 = gr$

где $v_{top}$ – скорость шайбы в верхней точке.

Теперь применим закон сохранения механической энергии. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии в нижней точке цилиндра.

Энергия в нижней точке: $E_1 = \frac{mv_{0,a}^2}{2}$.

Энергия в верхней точке (на высоте $2r$): $E_2 = \frac{mv_{top}^2}{2} + mg(2r)$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$\frac{mv_{0,a}^2}{2} = \frac{mv_{top}^2}{2} + 2mgr$.

Подставим найденное выражение для $v_{top}^2 = gr$:

$\frac{mv_{0,a}^2}{2} = \frac{m(gr)}{2} + 2mgr$.

$\frac{v_{0,a}^2}{2} = \frac{gr}{2} + 2gr = \frac{5gr}{2}$.

$v_{0,a}^2 = 5gr$.

$v_{0,a} = \sqrt{5gr}$.

Подставим числовые значения:

$v_{0,a} = \sqrt{5 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,3 \text{ м}} = \sqrt{15} \approx 3,87 \text{ м/с}$.

Ответ: $v_{0,a} = \sqrt{5gr} \approx 3,87 \text{ м/с}$.

б) Шайба отрывается от внутренней поверхности цилиндра в тот момент, когда сила реакции опоры $\text{N}$ обращается в ноль. Это возможно только в верхней половине цилиндра (при высоте подъема больше радиуса), где сила тяжести имеет составляющую, направленную от центра окружности.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальную ось, направленную к центру, для точки, положение которой задано углом $\alpha$ от нижней вертикали. Сила реакции опоры $\text{N}$ направлена к центру, а радиальная составляющая силы тяжести $mg\cos\alpha$ направлена от центра.

$N - mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{r}$

Условие отрыва $N=0$:

$-mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = -gr\cos\alpha$

Это возможно только при $\cos\alpha < 0$, т.е. при $\alpha > 90^\circ$.

Высота подъема $\text{h}$ связана с углом $\alpha$ соотношением $h = r(1-\cos\alpha)$.

Отсюда выразим $\cos\alpha = 1 - \frac{h}{r} = 1 - \frac{0,4}{0,3} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$. Условие $\cos\alpha < 0$ выполняется.

Теперь найдем квадрат скорости в момент отрыва:

$v^2 = -gr(-\frac{1}{3}) = \frac{gr}{3}$

По закону сохранения механической энергии, приравняем энергию в начальный момент (в нижней точке) и в момент отрыва (на высоте $\text{h}$):

$\frac{mv_{0,b}^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh$

$v_{0,b}^2 = v^2 + 2gh$

Подставим найденное значение $v^2$:

$v_{0,b}^2 = \frac{gr}{3} + 2gh = g\left(\frac{r}{3} + 2h\right)$

Подставим числовые значения:

$v_{0,b}^2 = 10 \text{ м/с}^2 \cdot \left(\frac{0,3 \text{ м}}{3} + 2 \cdot 0,4 \text{ м}\right) = 10 \cdot (0,1 + 0,8) = 10 \cdot 0,9 = 9 \text{ (м/с)}^2$

$v_{0,b} = \sqrt{9} = 3 \text{ м/с}$

Ответ: $v_{0,b} = 3 \text{ м/с}$.