Номер 11, страница 195, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 19. Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости - номер 11, страница 195.

Условие.

Похожая задача

11. Небольшая шайба массой 100 г удерживается на вершине гладкой закреплённой сферы (рис. 19.11). Шайба соединена нитью с грузом массой $\text{M}$. Шайбу отпускают без толчка, она скользит по сфере и отрывается от неё, когда радиус, проведённый из центра сферы к шайбе, составляет угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$ с вертикалью.

Рис. 19.11

a) Запишите уравнение, выражающее сохранение механической энергии шайбы и груза до отрыва шайбы от сферы. Угол $\alpha$ удобно использовать в радианной мере.

б) Запишите в проекциях на направленную к центру сферы ось $\text{x}$ уравнение второго закона Ньютона для шайбы в тот же момент.

в) Чему равна масса груза $\text{M}$?

Решение 2.

Дано:
Масса шайбы $m = 100 \text{ г}$
Угол отрыва $ \alpha = \frac{\pi}{6} $

$m = 0.1 \text{ кг}$

Найти:
а) Уравнение сохранения энергии.
б) Уравнение второго закона Ньютона для шайбы.
в) Массу груза $\text{M}$.

Решение:

а) Запишите уравнение, выражающее сохранение механической энергии шайбы и груза до отрыва шайбы от сферы. Угол α удобно использовать в радианной мере.
Примем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную плоскость, проходящую через центр сферы. Пусть начальное положение груза $\text{M}$ также соответствует нулевому уровню его потенциальной энергии.
Начальная механическая энергия системы (в момент, когда шайба находится на вершине сферы и покоится, $v_0 = 0$):
$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 0 + mgR$
где $\text{R}$ — радиус сферы.
В момент отрыва шайба находится на высоте $h = R \cos\alpha$ и движется со скоростью $\text{v}$. За это время шайба проходит по дуге сферы путь $s = R\alpha$. Нить разматывается, и груз $\text{M}$ опускается на такое же расстояние $s=R\alpha$ и также приобретает скорость $\text{v}$.
Конечная механическая энергия системы:
$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = (\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2) + (mgR\cos\alpha - MgR\alpha)$
Согласно закону сохранения механической энергии, $E_1 = E_2$:
$mgR = \frac{1}{2}(m+M)v^2 + mgR\cos\alpha - MgR\alpha$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить изменение энергии:
$mgR(1 - \cos\alpha) + MgR\alpha = \frac{1}{2}(m+M)v^2$
Это уравнение выражает, что работа сил тяжести (положительная работа силы тяжести груза $\text{M}$ и работа силы тяжести шайбы $\text{m}$) переходит в кинетическую энергию системы.
Ответ: $mgR(1 - \cos\alpha) + MgR\alpha = \frac{1}{2}(m+M)v^2$.

б) Запишите в проекциях на направленную к центру сферы ось уравнение второго закона Ньютона для шайбы в тот же момент.
В момент отрыва на шайбу действуют: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная по касательной к траектории. Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ в момент отрыва становится равной нулю ($N=0$).
Запишем второй закон Ньютона для шайбы в проекции на радиальную ось, направленную к центру сферы:
$ma_c = \sum F_r$
где $a_c = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение.
Проекция силы тяжести на эту ось равна $mg\cos\alpha$. Проекция силы натяжения нити равна нулю, так как она перпендикулярна радиусу. Сила нормальной реакции $N=0$.
Таким образом, уравнение принимает вид:
$m\frac{v^2}{R} = mg\cos\alpha$
Ответ: $m\frac{v^2}{R} = mg\cos\alpha$.

в) Чему равна масса груза M?
Мы имеем систему из двух уравнений, полученных в пунктах а) и б):
1) $mgR(1 - \cos\alpha) + MgR\alpha = \frac{1}{2}(m+M)v^2$
2) $m\frac{v^2}{R} = mg\cos\alpha$
Из второго уравнения выразим $v^2$:
$v^2 = gR\cos\alpha$
Подставим это выражение для $v^2$ в первое уравнение:
$mgR(1 - \cos\alpha) + MgR\alpha = \frac{1}{2}(m+M)gR\cos\alpha$
Сократим обе части уравнения на $gR$:
$m(1 - \cos\alpha) + M\alpha = \frac{1}{2}(m+M)\cos\alpha$
Раскроем скобки и выразим $\text{M}$:
$m - m\cos\alpha + M\alpha = \frac{1}{2}m\cos\alpha + \frac{1}{2}M\cos\alpha$
$M\alpha - \frac{1}{2}M\cos\alpha = \frac{1}{2}m\cos\alpha + m\cos\alpha - m$
$M(\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha) = m(\frac{3}{2}\cos\alpha - 1)$
$M = m \frac{\frac{3}{2}\cos\alpha - 1}{\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha}$
Подставим числовые значения: $m = 0.1 \text{ кг}$, $\alpha = \frac{\pi}{6}$, $\cos\alpha = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$M = 0.1 \cdot \frac{\frac{3}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}} = 0.1 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4} - 1}{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$
$M = 0.1 \cdot \frac{\frac{3\sqrt{3}-4}{4}}{\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{12}} = 0.1 \cdot \frac{(3\sqrt{3}-4)}{4} \cdot \frac{12}{(2\pi-3\sqrt{3})} = 0.1 \cdot \frac{3(3\sqrt{3}-4)}{2\pi-3\sqrt{3}}$
Вычислим приближенное значение: $\pi \approx 3.1416$, $\sqrt{3} \approx 1.732$.
$M \approx 0.1 \cdot \frac{3(3 \cdot 1.732 - 4)}{2 \cdot 3.1416 - 3 \cdot 1.732} = 0.1 \cdot \frac{3(5.196 - 4)}{6.2832 - 5.196} = 0.1 \cdot \frac{3 \cdot 1.196}{1.0872} = 0.1 \cdot \frac{3.588}{1.0872} \approx 0.1 \cdot 3.300 \approx 0.33 \text{ кг}$
Переводя в граммы: $M \approx 330 \text{ г}$.
Ответ: $M = m \frac{3(3\sqrt{3}-4)}{2\pi-3\sqrt{3}} \approx 330 \text{ г}$.