Номер 29, страница 187, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 18. Закон сохранения энергии в механике - номер 29, страница 187.

Условие.

29. Мяч падает на землю с высоты 5 м. Скорость мяча непосредственно перед ударом о землю равна 8 м/с. Какая энергия мяча была больше в момент, когда он пролетел половину пути, — кинетическая или потенциальная? Обоснуйте ваш ответ.

Решение 2.

Дано:

Начальная высота падения мяча $h_0 = 5 \text{ м}$
Скорость мяча перед ударом о землю $v_f = 8 \text{ м/с}$

Найти:

Какая энергия (кинетическая или потенциальная) была больше в момент, когда мяч пролетел половину пути.

Решение:

Полная механическая энергия тела является суммой его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий.
Кинетическая энергия определяется по формуле: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$, где $\text{m}$ – масса тела, $\text{v}$ – его скорость.
Потенциальная энергия в поле тяготения Земли определяется по формуле: $E_p = mgh$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{h}$ – высота тела над поверхностью земли.

Рассмотрим энергию мяча в начальный и конечный моменты времени. Будем считать, что мяч начинает падать из состояния покоя, то есть его начальная скорость $v_0 = 0$. За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность земли.

Начальная полная механическая энергия мяча (на высоте $h_0 = 5 \text{ м}$):
$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_0 = 0 + 5mg = 5mg$.

Конечная полная механическая энергия мяча (непосредственно перед ударом о землю, $h_f = 0$):
$E_f = E_{kf} + E_{pf} = \frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_f = \frac{1}{2}m \cdot (8)^2 + 0 = 32m$.

Сравним начальную и конечную энергии. Примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.
$E_0 = 5 \cdot 9.8 \cdot m = 49m$.
Поскольку $E_0 = 49m > E_f = 32m$, полная механическая энергия мяча в процессе падения не сохраняется. Это означает, что на мяч действует сила сопротивления воздуха, которая совершает отрицательную работу и уменьшает его механическую энергию.

Теперь рассмотрим момент, когда мяч пролетел половину пути. В этот момент он пролетел расстояние $\frac{h_0}{2} = 2.5 \text{ м}$ и находится на высоте $h_{1/2} = 5 - 2.5 = 2.5 \text{ м}$ над землей.

Потенциальная энергия мяча в этой точке:
$E_{p, 1/2} = mgh_{1/2} = mg \cdot 2.5 = 2.5mg$.

Кинетическую энергию $E_{k, 1/2}$ найдем из закона изменения механической энергии. При падении мяча с начальной высоты до половины пути изменение его потенциальной энергии пошло на увеличение его кинетической энергии и на работу $A_{сопр}$ против сил сопротивления воздуха.
Убыль потенциальной энергии: $\Delta E_p = E_{p0} - E_{p, 1/2} = 5mg - 2.5mg = 2.5mg$.
Приобретенная кинетическая энергия: $E_{k, 1/2}$ (так как начальная кинетическая энергия была равна нулю).
Таким образом, по закону сохранения энергии с учетом работы неконсервативных сил:
$\Delta E_p = E_{k, 1/2} + A_{сопр}$
$2.5mg = E_{k, 1/2} + A_{сопр}$

Поскольку сопротивление воздуха существует, работа $A_{сопр}$ является положительной величиной ($A_{сопр} > 0$).
Из этого следует, что $E_{k, 1/2} = 2.5mg - A_{сопр}$, а значит $E_{k, 1/2} < 2.5mg$.

Сравнивая потенциальную и кинетическую энергии в середине пути, получаем:
$E_{p, 1/2} = 2.5mg$
$E_{k, 1/2} < 2.5mg$
Следовательно, $E_{p, 1/2} > E_{k, 1/2}$.

Ответ: В момент, когда мяч пролетел половину пути, его потенциальная энергия была больше кинетической.