Номер 12, страница 201, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 12, страница 201.

Условие.

12. На покоящуюся на гладком столе гладкую горку налетает шайба (рис. 20.2, а). Масса горки $M = 100 \text{ г}$, её высота $H = 12 \text{ см}$, масса шайбы $20 \text{ г}$. Какой должна быть начальная скорость шайбы, чтобы она перелетела через горку?

Рис. 20.2

Решение 2.

Дано:

$M = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$m = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг}$

$H = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$v_0$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из шайбы и горки. Так как стол гладкий, внешние силы в горизонтальном направлении на систему не действуют. Следовательно, для системы сохраняется импульс в проекции на горизонтальную ось. Поскольку горка также гладкая, трение отсутствует, и для системы сохраняется полная механическая энергия.

Запишем закон сохранения импульса для горизонтальной оси. В начальный момент (до взаимодействия) горка покоится, а шайба движется со скоростью $v_0$.

Начальный импульс системы: $p_1 = m v_0$.

Для того чтобы шайба перелетела через горку, она должна достичь ее вершины. Минимальная начальная скорость $v_0$ соответствует случаю, когда шайба достигает вершины горки, и в этот момент ее скорость относительно горки в горизонтальном направлении равна нулю. Это означает, что в момент нахождения шайбы на вершине горки, и шайба, и горка будут двигаться как единое целое с некоторой скоростью $\text{V}$.

Конечный импульс системы: $p_2 = (m + M) V$.

Из закона сохранения импульса $p_1 = p_2$:

$m v_0 = (m + M) V$

Отсюда можно выразить конечную скорость системы: $V = \frac{m v_0}{m + M}$.

Теперь запишем закон сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность стола.

Начальная энергия системы (кинетическая энергия шайбы):

$E_1 = \frac{m v_0^2}{2}$

Конечная энергия системы в момент, когда шайба находится на вершине горки (сумма кинетической энергии шайбы и горки и потенциальной энергии шайбы):

$E_2 = \frac{(m + M) V^2}{2} + m g H$

Из закона сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{(m + M) V^2}{2} + m g H$

Подставим в это уравнение выражение для скорости $\text{V}$, полученное из закона сохранения импульса:

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{(m + M)}{2} \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 + m g H$

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{(m + M) m^2 v_0^2}{2 (m + M)^2} + m g H$

$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m^2 v_0^2}{2 (m + M)} + m g H$

Сократим на $\text{m}$ и умножим на 2:

$v_0^2 = \frac{m v_0^2}{m + M} + 2 g H$

Перенесем слагаемые с $v_0^2$ в левую часть:

$v_0^2 - \frac{m v_0^2}{m + M} = 2 g H$

$v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = 2 g H$

$v_0^2 \left( \frac{m + M - m}{m + M} \right) = 2 g H$

$v_0^2 \frac{M}{m + M} = 2 g H$

Отсюда находим искомую начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = \frac{2 g H (m + M)}{M}$

$v_0 = \sqrt{\frac{2 g H (m + M)}{M}} = \sqrt{2 g H \left( 1 + \frac{m}{M} \right)}$

Подставим числовые значения (примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$):

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.12 \text{ м} \cdot \left( 1 + \frac{0.02 \text{ кг}}{0.1 \text{ кг}} \right)} = \sqrt{2.352 \cdot (1 + 0.2)} = \sqrt{2.352 \cdot 1.2} = \sqrt{2.8224} \approx 1.68 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ:

Начальная скорость шайбы должна быть $v_0 = \sqrt{\frac{2 g H (m + M)}{M}} \approx 1.68 \text{ м/с}$.