Номер 10, страница 200, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Применение законов сохранения в механике к движению системы тел - номер 10, страница 200.

Условие.

10. Два маленьких пластилиновых шарика массами $\text{m}$ и $2m$ подвешены на нитях длиной 1 м и соприкасаются друг с другом. Шарик меньшей массы отводят так, что нить становится горизонтальной, и отпускают без толчка.

а) Чему равна скорость шара меньшей массы непосредственно перед ударом?

б) Чему равна скорость шаров сразу после абсолютно неупругого удара?

в) На какую высоту относительно положения равновесия поднимутся шары после абсолютно неупругого удара?

Решение 2.

Дано:

Масса первого (меньшего) шарика: $m_1 = m$

Масса второго (большего) шарика: $m_2 = 2m$

Длина нити: $l = 1 \text{ м}$

Начальная высота первого шарика (относительно положения равновесия): $h_1 = l = 1 \text{ м}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) Скорость шара меньшей массы перед ударом - $v_1$?

б) Скорость шаров после удара - $\text{u}$?

в) Высота подъема шаров после удара - $h_2$?

Решение:

а) Чему равна скорость шара меньшей массы непосредственно перед ударом?

Для нахождения скорости шарика массой $\text{m}$ непосредственно перед столкновением воспользуемся законом сохранения механической энергии. В начальный момент, когда нить горизонтальна, шарик находится на высоте $h_1 = l$ относительно положения равновесия и обладает только потенциальной энергией $E_{p1} = mgh_1 = mgl$. Его кинетическая энергия $E_{k1} = 0$, так как его отпускают без толчка.

В момент перед ударом шарик находится в самой нижней точке траектории, которую мы принимаем за нулевой уровень потенциальной энергии ($h=0$). В этой точке его потенциальная энергия $E_{p2} = 0$, а вся механическая энергия перешла в кинетическую $E_{k2} = \frac{1}{2}mv_1^2$, где $v_1$ - искомая скорость.

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия в начальном и конечном состояниях равна:
$E_{p1} + E_{k1} = E_{p2} + E_{k2}$
$mgl + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv_1^2$
$mgl = \frac{1}{2}mv_1^2$

Выразим скорость $v_1$:
$v_1^2 = 2gl$
$v_1 = \sqrt{2gl}$

Подставим числовые значения:
$v_1 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1 \text{ м}} = \sqrt{19.6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 4.43 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Скорость шара меньшей массы непосредственно перед ударом равна $v_1 = \sqrt{2gl} \approx 4.43 \text{ м/с}$.

б) Чему равна скорость шаров сразу после абсолютно неупругого удара?

Удар является абсолютно неупругим, это означает, что после столкновения шарики слипаются и движутся вместе как единое целое с общей скоростью $\text{u}$. Для системы из двух шариков в момент удара выполняется закон сохранения импульса.

Импульс системы до удара равен импульсу первого шарика, так как второй шарик покоился:
$p_{до} = m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = mv_1$

Импульс системы после удара равен импульсу слипшихся шариков общей массой $(m_1 + m_2) = (m + 2m) = 3m$:
$p_{после} = (m_1 + m_2)u = 3mu$

Согласно закону сохранения импульса:
$p_{до} = p_{после}$
$mv_1 = 3mu$

Выразим скорость $\text{u}$:
$u = \frac{mv_1}{3m} = \frac{v_1}{3}$

Подставим найденное в пункте а) значение $v_1$:
$u = \frac{\sqrt{2gl}}{3} \approx \frac{4.43 \text{ м/с}}{3} \approx 1.48 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Скорость шаров сразу после абсолютно неупругого удара равна $u = \frac{\sqrt{2gl}}{3} \approx 1.48 \text{ м/с}$.

в) На какую высоту относительно положения равновесия поднимутся шары после абсолютно неупругого удара?

После удара слипшиеся шарики начинают движение с начальной скоростью $\text{u}$ из положения равновесия и поднимаются на некоторую высоту $h_2$. Для нахождения этой высоты снова воспользуемся законом сохранения механической энергии для системы слипшихся шариков.

Сразу после удара (в положении равновесия) система обладает кинетической энергией $E_{k3} = \frac{1}{2}(3m)u^2$ и нулевой потенциальной энергией $E_{p3} = 0$.

В верхней точке траектории, на высоте $h_2$, скорость шариков становится равной нулю, поэтому их кинетическая энергия $E_{k4} = 0$. Вся энергия переходит в потенциальную: $E_{p4} = (3m)gh_2$.

Согласно закону сохранения энергии:
$E_{k3} + E_{p3} = E_{k4} + E_{p4}$
$\frac{1}{2}(3m)u^2 + 0 = 0 + (3m)gh_2$
$\frac{1}{2}u^2 = gh_2$

Выразим высоту $h_2$:
$h_2 = \frac{u^2}{2g}$

Подставим выражение для $u = \frac{v_1}{3}$ и $v_1^2 = 2gl$:
$h_2 = \frac{(\frac{v_1}{3})^2}{2g} = \frac{v_1^2}{9 \cdot 2g} = \frac{2gl}{18g} = \frac{l}{9}$

Подставим числовые значения:
$h_2 = \frac{1 \text{ м}}{9} \approx 0.11 \text{ м}$

Ответ: Шары поднимутся на высоту $h_2 = \frac{l}{9} \approx 0.11 \text{ м}$.