Номер 7, страница 212, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 7, страница 212.

Условие.

7. На закреплённый на оси °лёгкий рычаг действуют силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ (рис. 22.8). Обозначим $\vec{F_3}$ силу, действующую на рычаг со стороны оси, когда он находится в равновесии в горизонтальном положении.

а) Может ли рычаг находиться в равновесии под действием только двух изображённых на рисунке сил?

б) Чему равен модуль силы, действующей на рычаг со стороны оси, и как она направлена? Перенесите рисунок в тетрадь и изобразите на нём эту силу.

в) Чему равна алгебраическая сумма моментов всех приложенных к рычагу сил относительно оси, проходящей через точку приложения силы $\vec{F_2}$?

г) Чему равна алгебраическая сумма моментов всех приложенных к рычагу сил относительно оси, проходящей через точку приложения силы $\vec{F_1}$?

Этот пример иллюстрирует

второе условие равновесия тела: если тело находится в покое, то алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно любой оси равна нулю: $M_1 + M_2 + ... + M_n = 0$.

Решение 2.

Дано:

На лёгкий рычаг, закреплённый на оси O, действуют силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$. Рычаг находится в равновесии. Из рисунка 22.8, принимая одну клетку за условную единицу длины $l_0$ и модуль силы, соответствующий одной клетке, за условную единицу силы $F_0$, имеем:

Модуль силы $\vec{F_1}$: $F_1 = 4 F_0$.

Плечо силы $\vec{F_1}$ относительно оси O: $l_1 = 3 l_0$.

Модуль силы $\vec{F_2}$: $F_2 = 2 F_0$.

Плечо силы $\vec{F_2}$ относительно оси O: $l_2 = 6 l_0$.

Обозначим силу, действующую на рычаг со стороны оси, как $\vec{F_3}$.

Найти:

а) Может ли рычаг быть в равновесии только под действием сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$?

б) Модуль и направление силы $\vec{F_3}$.

в) Алгебраическую сумму моментов всех сил относительно оси, проходящей через точку приложения силы $\vec{F_2}$.

г) Алгебраическую сумму моментов всех сил относительно оси, проходящей через точку приложения силы $\vec{F_1}$.

Решение:

а) Может ли рычаг находиться в равновесии под действием только двух изображённых на рисунке сил?

Для равновесия твёрдого тела необходимо выполнение двух условий:

1. Векторная сумма всех действующих на тело сил должна быть равна нулю (условие равновесия для поступательного движения): $\sum \vec{F} = 0$.

2. Алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения должна быть равна нулю (условие равновесия для вращательного движения): $\sum M = 0$.

Рассмотрим первое условие для сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$. Обе силы направлены вертикально вниз. Их векторная сумма $\vec{F_1} + \vec{F_2}$ также будет направлена вниз и не будет равна нулю. Следовательно, первое условие равновесия не выполняется. Рычаг не может находиться в равновесии только под действием этих двух сил, так как он будет двигаться поступательно с ускорением вниз.

Ответ: Нет, не может, так как векторная сумма этих сил не равна нулю.

б) Чему равен модуль силы, действующей на рычаг со стороны оси, и как она направлена? Перенесите рисунок в тетрадь и изобразите на нём эту силу.

Поскольку рычаг находится в равновесии, то на него действуют три силы: $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$ и сила реакции опоры $\vec{F_3}$ (действующая со стороны оси). Для равновесия должна выполняться система уравнений:

$\sum \vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$

$\sum M_O = M_1 + M_2 + M_3 = 0$

Из первого условия (равенство нулю суммы сил), спроецировав силы на вертикальную ось OY, направленную вверх, получим:

$F_{3y} - F_1 - F_2 = 0$

Отсюда следует, что сила $\vec{F_3}$ направлена вертикально вверх, а её модуль равен:

$F_3 = F_1 + F_2 = 4 F_0 + 2 F_0 = 6 F_0$

Сила $\vec{F_3}$ приложена в точке опоры O. На рисунке её следует изобразить в виде стрелки, выходящей из точки O вверх, длиной в 6 клеток.

Проверим условие равновесия моментов относительно оси O. Момент силы $\vec{F_3}$ равен нулю, так как её плечо равно нулю. Примем вращение против часовой стрелки за положительное направление.

$M_1 = F_1 \cdot l_1 = (4 F_0) \cdot (3 l_0) = 12 F_0 l_0$

$M_2 = - F_2 \cdot l_2 = - (2 F_0) \cdot (6 l_0) = -12 F_0 l_0$

$\sum M_O = M_1 + M_2 = 12 F_0 l_0 - 12 F_0 l_0 = 0$. Условие вращательного равновесия также выполняется.

Ответ: Модуль силы равен сумме модулей сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, что в условных единицах составляет $6 F_0$. Сила направлена вертикально вверх.

в) Чему равна алгебраическая сумма моментов всех приложенных к рычагу сил относительно оси, проходящей через точку приложения силы $\vec{F_2}$?

Так как рычаг находится в состоянии равновесия, алгебраическая сумма моментов всех действующих на него сил равна нулю относительно любой оси. Это следует из второго условия равновесия. Следовательно, сумма моментов относительно оси, проходящей через точку приложения силы $\vec{F_2}$, также равна нулю.

Проверим это прямым расчётом. Выберем ось вращения в точке приложения силы $\vec{F_2}$. Примем вращение против часовой стрелки за положительное.

Момент силы $\vec{F_2}$ относительно этой оси равен нулю: $M'_2 = 0$.

Плечо силы $\vec{F_1}$ равно $l_1 + l_2 = 3 l_0 + 6 l_0 = 9 l_0$. Сила $\vec{F_1}$ создаёт момент, вращающий рычаг против часовой стрелки: $M'_1 = F_1 (l_1 + l_2) = (4 F_0) \cdot (9 l_0) = 36 F_0 l_0$.

Плечо силы $\vec{F_3}$ равно $l_2 = 6 l_0$. Сила $\vec{F_3}$ (направленная вверх) создаёт момент, вращающий рычаг по часовой стрелке: $M'_3 = - F_3 l_2 = - (6 F_0) \cdot (6 l_0) = -36 F_0 l_0$.

Сумма моментов: $\sum M = M'_1 + M'_2 + M'_3 = 36 F_0 l_0 + 0 - 36 F_0 l_0 = 0$.

Ответ: Алгебраическая сумма моментов равна нулю.

г) Чему равна алгебраическая сумма моментов всех приложенных к рычагу сил относительно оси, проходящей через точку приложения силы $\vec{F_1}$?

Аналогично пункту (в), так как рычаг находится в равновесии, сумма моментов всех сил относительно любой оси, включая ось, проходящую через точку приложения силы $\vec{F_1}$, равна нулю.

Проверим это прямым расчётом. Выберем ось вращения в точке приложения силы $\vec{F_1}$. Примем вращение против часовой стрелки за положительное.

Момент силы $\vec{F_1}$ относительно этой оси равен нулю: $M''_1 = 0$.

Плечо силы $\vec{F_3}$ равно $l_1 = 3 l_0$. Сила $\vec{F_3}$ (направленная вверх) создаёт момент, вращающий рычаг против часовой стрелки: $M''_3 = F_3 l_1 = (6 F_0) \cdot (3 l_0) = 18 F_0 l_0$.

Плечо силы $\vec{F_2}$ равно $l_1 + l_2 = 9 l_0$. Сила $\vec{F_2}$ создаёт момент, вращающий рычаг по часовой стрелке: $M''_2 = - F_2 (l_1 + l_2) = - (2 F_0) \cdot (9 l_0) = -18 F_0 l_0$.

Сумма моментов: $\sum M = M''_1 + M''_2 + M''_3 = 0 - 18 F_0 l_0 + 18 F_0 l_0 = 0$.

Ответ: Алгебраическая сумма моментов равна нулю.