Номер 11, страница 214, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 22. Условия равновесия тела - номер 11, страница 214.

Условие.

11. На двух тросах одинаковой длины, прикреплённых к потолку, подвешен груз массой 20 кг. Угол между тросами равен 120°. Чему равна сила натяжения каждого троса?

Решение 2.

Дано:

Масса груза, $m = 20$ кг
Угол между тросами, $\gamma = 120^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Силу натяжения каждого троса, $\text{T}$

Решение:

На груз действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения тросов $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, направленные вдоль тросов. Поскольку груз находится в состоянии покоя, согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю:

$\vec{F_g} + \vec{T_1} + \vec{T_2} = 0$

Так как тросы имеют одинаковую длину, система является симметричной. Это означает, что модули сил натяжения равны: $|\vec{T_1}| = |\vec{T_2}| = T$.

Введём систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX горизонтально. Точка подвеса груза будет являться началом координат.

Вертикальная ось OY делит угол $\gamma$ между тросами пополам. Следовательно, каждый трос составляет с вертикалью угол $\alpha = \frac{\gamma}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Запишем уравнение равновесия в проекциях на оси координат.

Проекция на ось OX:

$T_2 \sin(\alpha) - T_1 \sin(\alpha) = 0$

Так как $T_1 = T_2$, это уравнение превращается в тождество $0 = 0$, что подтверждает симметрию задачи.

Проекция на ось OY:

$T_1 \cos(\alpha) + T_2 \cos(\alpha) - F_g = 0$

Поскольку $T_1 = T_2 = T$ и сила тяжести $F_g = mg$, уравнение принимает вид:

$T \cos(\alpha) + T \cos(\alpha) - mg = 0$

$2T \cos(\alpha) = mg$

Выразим из этого уравнения искомую силу натяжения $\text{T}$:

$T = \frac{mg}{2 \cos(\alpha)}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{20 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}{2 \cdot \cos(60^\circ)}$

Зная, что $\cos(60^\circ) = 0,5$:

$T = \frac{196 \, \text{Н}}{2 \cdot 0,5} = \frac{196 \, \text{Н}}{1} = 196 \, \text{Н}$

Ответ: сила натяжения каждого троса равна 196 Н.