Номер 8, страница 220, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 23. Центр тяжести. Виды равновесия - номер 8, страница 220.

Условие.

8. К гладкой стене прислонена доска длиной $\text{l}$ и массой $\text{m}$ (рис. 23.13). Угол между доской и стеной равен $\alpha$, коэффициент трения между доской и полом равен $\mu$.

а) Изобразите на чертеже силы, действующие на доску. Обозначьте силы нормальной реакции, действующие со стороны стены и пола, $\vec{N}_{\text{с}}$ и $\vec{N}_{\text{п}}$, а силу трения — $\vec{F}_{\text{тр}}$.

б) Запишите первое условие равновесия для доски в проекциях на показанные на рисунке оси координат.

Рис. 23.13

в) Запишите соотношение для силы трения, действующей на доску со стороны пола.

г) Относительно какой оси удобнее использовать в данной ситуации правило моментов?

д) Запишите второе условие равновесия для доски относительно выбранной оси.

е) Выведите из полученных соотношений условие равновесия для доски в виде неравенства для угла $\alpha$ и коэффициента трения $\mu$.

Решение 2.

Дано:

Длина доски: $\text{l}$
Масса доски: $\text{m}$
Угол между доской и стеной: $\alpha$
Коэффициент трения между доской и полом: $\mu$
Стена гладкая.

Найти:

а) Схему сил, действующих на доску.
б) Первое условие равновесия в проекциях на оси.
в) Соотношение для силы трения.
г) Наиболее удобную ось для применения правила моментов.
д) Второе условие равновесия относительно выбранной оси.
е) Условие равновесия в виде неравенства для $\alpha$ и $\mu$.

Решение:

а) Изобразите на чертеже силы, действующие на доску. Обозначьте силы нормальной реакции, действующие со стороны стены и пола, $\overline{N_c}$ и $\overline{N_п}$, а силу трения — $\overline{F}_{тр}$.
На доску действуют следующие силы:
1. Сила тяжести $m\overline{g}$, приложенная к центру масс доски (ее середине) и направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции со стороны стены $\overline{N_c}$, приложенная к верхнему концу доски и направленная перпендикулярно стене (горизонтально вправо). Сила трения со стороны стены отсутствует, так как стена гладкая.
3. Сила нормальной реакции со стороны пола $\overline{N_п}$, приложенная к нижнему концу доски и направленная перпендикулярно полу (вертикально вверх).
4. Сила трения покоя со стороны пола $\overline{F}_{тр}$, приложенная к нижнему концу доски и направленная вдоль пола влево, так как доска имеет тенденцию соскальзывать вниз, и ее нижний конец смещался бы вправо.
Ответ: Силы, действующие на доску: сила тяжести $m\overline{g}$ (вниз, из центра), сила реакции стены $\overline{N_c}$ (вправо, от верхнего конца), сила реакции пола $\overline{N_п}$ (вверх, от нижнего конца), сила трения $\overline{F}_{тр}$ (влево, от нижнего конца).

б) Запишите первое условие равновесия для доски в проекциях на показанные на рисунке оси координат.
Первое условие равновесия гласит, что векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю: $\sum \overline{F} = 0$.
Запишем это условие в проекциях на оси координат $Ox$ и $Oy$.
Проекция на ось $Ox$: $N_c - F_{тр} = 0$
Проекция на ось $Oy$: $N_п - mg = 0$
Ответ: Проекция на ось $Ox$: $N_c - F_{тр} = 0$. Проекция на ось $Oy$: $N_п - mg = 0$.

в) Запишите соотношение для силы трения, действующей на доску со стороны пола.
Поскольку доска находится в равновесии, сила трения является силой трения покоя. Величина силы трения покоя может изменяться от нуля до максимального значения $F_{тр.макс} = \mu N_п$. Для того чтобы равновесие было возможным, действующая сила трения не должна превышать это максимальное значение.
Следовательно, условие имеет вид: $F_{тр} \le \mu N_п$.
Ответ: $F_{тр} \le \mu N_п$.

г) Относительно какой оси удобнее использовать в данной ситуации правило моментов?
Правило моментов (второе условие равновесия) гласит, что сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю: $\sum M = 0$. Для упрощения расчетов ось удобно выбирать так, чтобы она проходила через точку приложения одной или нескольких неизвестных сил. В этом случае моменты этих сил будут равны нулю.
Наиболее удобной точкой является точка касания доски с полом, так как через нее проходят линии действия двух сил: силы нормальной реакции пола $\overline{N_п}$ и силы трения $\overline{F}_{тр}$.
Ответ: Удобнее всего использовать правило моментов относительно оси, проходящей через точку опоры доски на пол и перпендикулярной плоскости рисунка.

д) Запишите второе условие равновесия для доски относительно выбранной оси.
Выберем ось вращения, проходящую через нижний конец доски (точку опоры на пол), перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю.
Моменты сил $\overline{N_п}$ и $\overline{F}_{тр}$ равны нулю, так как их плечи равны нулю.
Момент силы тяжести $m\overline{g}$ вращает доску по часовой стрелке (отрицательное направление). Плечо силы равно $d_1 = \frac{l}{2} \sin\alpha$. Момент: $M_1 = -mg \frac{l}{2} \sin\alpha$.
Момент силы реакции стены $\overline{N_c}$ вращает доску против часовой стрелки (положительное направление). Плечо силы равно $d_2 = l \cos\alpha$. Момент: $M_2 = N_c l \cos\alpha$.
Уравнение моментов: $\sum M = M_1 + M_2 = 0 \Rightarrow N_c l \cos\alpha - mg \frac{l}{2} \sin\alpha = 0$.
Ответ: $N_c l \cos\alpha - mg \frac{l}{2} \sin\alpha = 0$.

е) Выведите из полученных соотношений условие равновесия для доски в виде неравенства для угла $\alpha$ и коэффициента трения $\mu$.
Используем полученные ранее уравнения и неравенство:
1) Из первого условия равновесия: $N_c = F_{тр}$ и $N_п = mg$.
2) Из второго условия равновесия: $N_c l \cos\alpha = mg \frac{l}{2} \sin\alpha$.
3) Условие для силы трения: $F_{тр} \le \mu N_п$.
Из уравнения моментов (2) выразим $N_c$:
$N_c = \frac{mg \frac{l}{2} \sin\alpha}{l \cos\alpha} = \frac{mg}{2} \tan\alpha$.
Теперь подставим выражения для $N_c$, $F_{тр}$ и $N_п$ в неравенство (3):
Так как $F_{тр} = N_c$, получаем $F_{тр} = \frac{mg}{2} \tan\alpha$.
Подставляем в $F_{тр} \le \mu N_п$:
$\frac{mg}{2} \tan\alpha \le \mu (mg)$.
Сокращая на $mg$ (поскольку $m>0, g>0$), получаем искомое условие равновесия:
$\frac{1}{2} \tan\alpha \le \mu$ или $\tan\alpha \le 2\mu$.
Ответ: $\tan\alpha \le 2\mu$.