Номер 27, страница 37, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 28. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул - номер 27, страница 37.

Условие.

27. В баллоне находится смесь двух инертных газов общей массой 6 г. Среднеквадратичная скорость молекул первого газа в 3,16 раза больше среднеквадратичной скорости молекул второго газа, а суммарная кинетическая энергия молекул первого газа в 2 раза больше суммарной кинетической энергии второго газа.

а) Какие газы находятся в баллоне?

б) Чему равна масса каждого газа?

Решение 2.

Дано:

$m = 6$ г

$\frac{v_1}{v_2} = 3,16$

$\frac{E_1}{E_2} = 2$

Газы инертные

$m = 6 \cdot 10^{-3}$ кг

Найти:

а) Какие газы находятся в баллоне?

б) $m_1, m_2$ - ?

Решение:

а) Какие газы находятся в баллоне?

Среднеквадратичная скорость молекул идеального газа определяется формулой:

$v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура, $\text{M}$ – молярная масса газа.

Поскольку оба газа находятся в одном баллоне, они находятся в состоянии теплового равновесия, и их температуры одинаковы ($T_1 = T_2 = T$).

Запишем отношение среднеквадратичных скоростей для первого и второго газов:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{3RT/M_1}}{\sqrt{3RT/M_2}} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$

Из условия задачи известно, что $\frac{v_1}{v_2} = 3,16$. Заметим, что $3,16 \approx \sqrt{10}$. Тогда можно записать:

$\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \approx \sqrt{10}$

Возведя обе части в квадрат, получим отношение молярных масс:

$\frac{M_2}{M_1} \approx 10$

Теперь нам нужно найти пару инертных газов, молярные массы которых находятся в таком отношении. Выпишем молярные массы некоторых инертных газов:

• Гелий (He): $M_{He} \approx 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
• Неон (Ne): $M_{Ne} \approx 20 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
• Аргон (Ar): $M_{Ar} \approx 40 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Проверим отношение масс для пары гелий-аргон:

$\frac{M_{Ar}}{M_{He}} = \frac{40 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-3}} = 10$

Это отношение соответствует найденному. Так как $M_2 = 10 \cdot M_1$, то первый газ (с меньшей молярной массой) — это гелий, а второй газ (с большей молярной массой) — аргон.

Ответ: В баллоне находятся гелий (первый газ) и аргон (второй газ).

б) Чему равна масса каждого газа?

Суммарная кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна:

$E = \frac{3}{2}\nu RT = \frac{3}{2}\frac{m}{M}RT$

где $\text{m}$ — масса газа, а $\nu$ — количество вещества.

Запишем отношение суммарных кинетических энергий для двух газов, учитывая, что их температуры $\text{T}$ равны:

$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{3}{2}\frac{m_1}{M_1}RT}{\frac{3}{2}\frac{m_2}{M_2}RT} = \frac{m_1 M_2}{m_2 M_1}$

Из условия $\frac{E_1}{E_2} = 2$, а из пункта а) мы знаем, что $\frac{M_2}{M_1} = 10$. Подставим эти значения:

$2 = \frac{m_1}{m_2} \cdot 10$

Отсюда находим отношение масс газов:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, следовательно, $m_2 = 5m_1$.

Общая масса смеси газов по условию равна $m_1 + m_2 = 6$ г. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 6 \\ m_2 = 5m_1 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$m_1 + 5m_1 = 6$

$6m_1 = 6$

$m_1 = 1$ г

Теперь найдем массу второго газа:

$m_2 = 5m_1 = 5 \cdot 1 = 5$ г

Ответ: Масса гелия равна 1 г, масса аргона равна 5 г.