Номер 26, страница 36, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 28. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул - номер 26, страница 36.

Условие.

26. Чему равна начальная температура газа, если при его нагревании на 150 К среднеквадратичная скорость движения молекул увеличилась от 500 м/с до 600 м/с?

Решение 2.

Дано:

Начальная среднеквадратичная скорость, $v_1 = 500$ м/с
Конечная среднеквадратичная скорость, $v_2 = 600$ м/с
Повышение температуры, $\Delta T = 150$ К

Найти:

Начальную температуру газа, $T_1$.

Решение:

Связь между средней кинетической энергией поступательного движения молекул газа и его абсолютной температурой ($\text{T}$) выражается формулой:

$\text{<}e_k\text{>} = \frac{1}{2}m_0 v_{ск}^2 = \frac{3}{2}kT$

где $m_0$ — масса одной молекулы, $v_{ск}$ — среднеквадратичная скорость, а $\text{k}$ — постоянная Больцмана.

Из этой формулы следует, что квадрат среднеквадратичной скорости прямо пропорционален абсолютной температуре:

$v_{ск}^2 \sim T$

Мы можем записать это соотношение для начального (индекс 1) и конечного (индекс 2) состояний газа:

$\frac{v_1^2}{T_1} = \frac{v_2^2}{T_2}$

По условию задачи, газ нагрели на $\Delta T = 150$ К. Это означает, что конечная температура $T_2$ связана с начальной $T_1$ следующим образом:

$T_2 = T_1 + \Delta T$

Подставим это выражение в наше соотношение пропорциональности:

$\frac{v_1^2}{T_1} = \frac{v_2^2}{T_1 + \Delta T}$

Теперь решим это уравнение относительно $T_1$. Для этого воспользуемся свойством пропорции («перекрёстное умножение»):

$v_1^2 (T_1 + \Delta T) = v_2^2 T_1$
$v_1^2 T_1 + v_1^2 \Delta T = v_2^2 T_1$
$v_1^2 \Delta T = v_2^2 T_1 - v_1^2 T_1$
$v_1^2 \Delta T = (v_2^2 - v_1^2) T_1$

Отсюда выражаем искомую начальную температуру $T_1$:

$T_1 = \frac{v_1^2 \Delta T}{v_2^2 - v_1^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T_1 = \frac{(500 \text{ м/с})^2 \cdot 150 \text{ К}}{(600 \text{ м/с})^2 - (500 \text{ м/с})^2} = \frac{250000 \cdot 150}{360000 - 250000} = \frac{250000 \cdot 150}{110000}$

$T_1 = \frac{25 \cdot 150}{11} = \frac{3750}{11} \approx 340,9$ К

Округляя результат до целых, получаем $T_1 \approx 341$ К.

Ответ: начальная температура газа равна 341 К.