Номер 19, страница 36, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 28. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул - номер 19, страница 36.

Условие.

19. Чему равна среднеквадратичная скорость молекул газа, находящегося в сосуде объёмом $3 \text{ м}^3$, если масса газа равна $2 \text{ кг}$, а давление в сосуде равно $200 \text{ кПа}$?

Решение 2.

Дано:

Объём газа $V = 3 \text{ м}^3$

Масса газа $m = 2 \text{ кг}$

Давление газа $P = 200 \text{ кПа}$

$P = 200 \text{ кПа} = 200 \cdot 10^3 \text{ Па} = 2 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Среднеквадратичную скорость молекул $v_{кв}$

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа связывает макроскопические параметры (давление, объём, температуру) с микроскопическими (масса молекул, их скорость). Давление газа выражается через средний квадрат скорости молекул:

$P = \frac{1}{3} m_0 n \langle v^2 \rangle$

где $\text{P}$ — давление, $m_0$ — масса одной молекулы, $\text{n}$ — концентрация молекул, а $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости молекул.

Концентрация $\text{n}$ — это число молекул $\text{N}$ в единице объёма $\text{V}$: $n = \frac{N}{V}$.

Подставим это в уравнение МКТ:

$P = \frac{1}{3} m_0 \frac{N}{V} \langle v^2 \rangle$

Произведение массы одной молекулы $m_0$ на общее число молекул $\text{N}$ равно общей массе газа $\text{m}$: $m = N \cdot m_0$.

Заменим $N \cdot m_0$ на $\text{m}$ в уравнении:

$P = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \langle v^2 \rangle$

Из этого уравнения выразим средний квадрат скорости $\langle v^2 \rangle$:

$3PV = m \langle v^2 \rangle$

$\langle v^2 \rangle = \frac{3PV}{m}$

Среднеквадратичная скорость $v_{кв}$ по определению равна квадратному корню из среднего квадрата скорости:

$v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3PV}{m}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи, предварительно переведя давление в систему СИ:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \cdot (2 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (3 \text{ м}^3)}{2 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 10^5}{2}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{9 \cdot 10^5} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Для удобства извлечения корня представим число $9 \cdot 10^5$ как $90 \cdot 10^4$:

$v_{кв} = \sqrt{90 \cdot 10^4} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{90} \cdot \sqrt{10^4} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 100\sqrt{90} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 100 \cdot 9,487 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 948,7 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлив, получаем:

$v_{кв} \approx 949 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: среднеквадратичная скорость молекул газа равна приблизительно 949 м/с.