Номер 14, страница 34, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 28. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул - номер 14, страница 34.

Условие.

14. Докажите, что модуль импульса, переданного стенке одной молекулой, выражается формулой

$\Delta p_1 = 2m_0 \overline{v_x}$.

Подставляя последние два выражения в формулу $\Delta p = Z \cdot \Delta p_1$, получаем:

$\Delta p = Z \cdot \Delta p_1 = \frac{n S \overline{v_x} \Delta t}{2} \cdot 2m_0 \overline{v_x} = n S m_0 \overline{v_x^2} \Delta t.$

В эту формулу входит среднее значение квадрата скорости, потому что молекулы на самом деле движутся с разными скоростями.

Используя формулы $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ и $p = \frac{F}{S}$, получаем:

$p = n m_0 \overline{v_x^2}$.

Осталось учесть, что на самом деле все направления скоростей молекул газа равновероятны.

Квадрат скорости молекулы выражается через квадраты проекций скорости следующей формулой (обобщение теоремы Пифагора на трёхмерный случай):

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$.

Так как все направления скоростей молекул равновероятны,

$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$.

Из двух последних формул получаем:

$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3} \overline{v^2}$.

Подставляя это соотношение в формулу $p = n m_0 \overline{v_x^2}$, получаем, наконец, основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$.

Решение 2.

14. Решение

Рассмотрим абсолютно упругое столкновение молекулы массой $m_0$ со стенкой сосуда. Направим ось координат $Ox$ перпендикулярно стенке.

Пусть до столкновения проекция скорости молекулы на ось $Ox$ равна $v_x$. Тогда проекция импульса молекулы на эту ось до столкновения составляет $p_{1x} = m_0v_x$.

При абсолютно упругом столкновении о неподвижную стенку проекция скорости молекулы, перпендикулярная стенке, меняет свой знак на противоположный, в то время как параллельные стенке составляющие скорости остаются неизменными. Таким образом, после столкновения проекция скорости на ось $Ox$ станет равной $-v_x$.

Проекция импульса молекулы на ось $Ox$ после столкновения будет равна $p_{2x} = m_0(-v_x) = -m_0v_x$.

Изменение импульса молекулы в результате столкновения равно разности конечного и начального импульсов:

$\Delta p_{молекулы, x} = p_{2x} - p_{1x} = -m_0v_x - m_0v_x = -2m_0v_x$.

Согласно закону сохранения импульса (и третьему закону Ньютона), импульс, переданный стенке $\Delta p_1$, равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса самой молекулы. Таким образом, импульс, полученный стенкой, равен $ - \Delta p_{молекулы, x}$.

$\Delta p_1 = - \Delta p_{молекулы, x} = -(-2m_0v_x) = 2m_0v_x$.

Так как в условии задачи требуется найти модуль импульса, а $m_0$ и $v_x$ (как модуль скорости вдоль оси) являются положительными величинами, то модуль импульса, переданного стенке, равен:

$\Delta p_1 = 2m_0v_x$.

Формула доказана.

Ответ: Доказано, что модуль импульса, переданного стенке одной молекулой при абсолютно упругом столкновении, выражается формулой $\Delta p_1 = 2m_0v_x$.