Номер 8, страница 32, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 28. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул - номер 8, страница 32.

Условие.

°8. Выразите среднеквадратичную скорость молекул через давление газа и его плотность.

Решение 2.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа. Это уравнение связывает макроскопический параметр – давление газа $\text{p}$ – с микроскопическими параметрами: концентрацией молекул $\text{n}$, массой одной молекулы $m_0$ и средним квадратом скорости молекул $\overline{v^2}$.

Основное уравнение МКТ имеет вид:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

Среднеквадратичная скорость $v_{кв}$ по определению равна квадратному корню из среднего квадрата скорости:

$v_{кв} = \sqrt{\overline{v^2}}$, следовательно, $\overline{v^2} = v_{кв}^2$.

Подставим это выражение в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{1}{3} n m_0 v_{кв}^2$

Теперь рассмотрим плотность газа $\rho$. Плотность – это отношение массы газа $\text{m}$ к его объему $\text{V}$:

$\rho = \frac{m}{V}$

Массу всего газа можно выразить как произведение числа молекул $\text{N}$ на массу одной молекулы $m_0$: $m = N m_0$.

Тогда плотность можно записать как:

$\rho = \frac{N m_0}{V}$

Концентрация молекул $\text{n}$ – это число молекул в единице объема, то есть $n = \frac{N}{V}$. Заметим, что произведение концентрации на массу одной молекулы как раз равно плотности:

$\rho = n \cdot m_0$

Подставим это произведение в уравнение для давления:

$p = \frac{1}{3} \rho v_{кв}^2$

Из полученного соотношения выразим среднеквадратичную скорость $v_{кв}$:

$3p = \rho v_{кв}^2$

$v_{кв}^2 = \frac{3p}{\rho}$

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$

Таким образом, мы выразили среднеквадратичную скорость молекул через давление газа и его плотность.

Ответ: $v_{кв} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$