Номер 6, страница 32, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 28. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул - номер 6, страница 32.

Условие.

°6. Используя формулу, выведенную в предыдущем задании, определение газовой постоянной $\text{R}$, а также формулу, связывающую молярную массу $\text{M}$ с массой одной молекулы $m_0$, докажите, что среднеквадратичную скорость молекул можно выразить формулой

$\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Решение 2.

Для доказательства воспользуемся следующими формулами и определениями:
1. Формула для среднеквадратичной скорости молекул, выраженная через постоянную Больцмана $\text{k}$ (предполагается, что она была выведена в предыдущем задании):
$\bar{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$, где $\text{T}$ - абсолютная температура, $m_0$ - масса одной молекулы.
2. Определение универсальной газовой постоянной $\text{R}$:
$R = k \cdot N_A$, где $\text{k}$ - постоянная Больцмана, $N_A$ - постоянная Авогадро.
3. Формула, связывающая молярную массу $\text{M}$ с массой одной молекулы $m_0$:
$M = m_0 \cdot N_A$.

Решение
Наша цель - преобразовать исходную формулу для скорости $\bar{v}$, заменив в ней микроскопические величины ($\text{k}$ и $m_0$) на макроскопические ($\text{R}$ и $\text{M}$).
Из определения универсальной газовой постоянной выразим постоянную Больцмана:
$k = \frac{R}{N_A}$
Из формулы для молярной массы выразим массу одной молекулы:
$m_0 = \frac{M}{N_A}$
Теперь подставим полученные выражения для $\text{k}$ и $m_0$ в исходную формулу для среднеквадратичной скорости:
$\bar{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3 \cdot (\frac{R}{N_A}) \cdot T}{(\frac{M}{N_A})}}$
Упростим выражение под корнем. Для этого "перевернем" дробь в знаменателе и умножим:
$\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{N_A} \cdot \frac{N_A}{M}}$
Постоянная Авогадро $N_A$ в числителе и знаменателе сокращается:
$\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
Таким образом, мы доказали требуемую формулу.
Ответ: Формула $\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ доказана путем подстановки выражений для постоянной Больцмана ($k = R/N_A$) и массы одной молекулы ($m_0 = M/N_A$) в исходное уравнение для среднеквадратичной скорости $\bar{v} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$.