Номер 25, страница 36, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 28. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул - номер 25, страница 36.

Условие.

25. В баллоне с очень малым отверстием постоянно поддерживается температура воздуха $T_1$. Температура окружающего воздуха равна $T_2$, а его давление равно $p_2$. Чему равно давление $p_1$ воздуха в баллоне?

Решение 2.

Дано:

Температура воздуха в баллоне: $T_1$

Температура окружающего воздуха: $T_2$

Давление окружающего воздуха: $p_2$

Найти:

Давление воздуха в баллоне: $p_1$

Решение:

Поскольку отверстие в баллоне очень мало, система находится в состоянии динамического равновесия. В этом состоянии число молекул, вылетающих из баллона за единицу времени, равно числу молекул, влетающих в него из окружающей среды. Это условие обеспечивает постоянство количества газа и, следовательно, давления $p_1$ в баллоне.

Согласно молекулярно-кинетической теории, число молекул, проходящих через единицу площади в единицу времени (плотность потока частиц), пропорционально произведению концентрации молекул $\text{n}$ на их среднюю тепловую скорость $\langle v \rangle$.

Поток молекул, вылетающих из баллона (наружу), можно записать как:

$J_{вых} \propto n_1 \langle v_1 \rangle$

где $n_1$ и $\langle v_1 \rangle$ — концентрация и средняя тепловая скорость молекул внутри баллона.

Поток молекул, влетающих в баллон (внутрь), равен:

$J_{вх} \propto n_2 \langle v_2 \rangle$

где $n_2$ и $\langle v_2 \rangle$ — концентрация и средняя тепловая скорость молекул снаружи баллона.

В состоянии равновесия потоки должны быть равны:

$J_{вых} = J_{вх}$

Следовательно:

$ n_1 \langle v_1 \rangle = n_2 \langle v_2 \rangle $

Теперь выразим концентрацию $\text{n}$ и среднюю скорость $\langle v \rangle$ через макроскопические параметры — давление $\text{p}$ и температуру $\text{T}$.

Из уравнения состояния идеального газа $p = n k_B T$, где $k_B$ — постоянная Больцмана, получаем выражение для концентрации: $n = \frac{p}{k_B T}$.

Из молекулярно-кинетической теории известно, что средняя тепловая скорость молекул пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры: $\langle v \rangle \propto \sqrt{T}$.

Подставим эти выражения в условие равновесия:

$ \frac{p_1}{k_B T_1} \cdot C \sqrt{T_1} = \frac{p_2}{k_B T_2} \cdot C \sqrt{T_2} $

где $\text{C}$ — константа пропорциональности. Сократив общие множители ($k_B$, $\text{C}$), получаем:

$ \frac{p_1}{T_1} \sqrt{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \sqrt{T_2} $

$ \frac{p_1}{\sqrt{T_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{T_2}} $

Из этого соотношения выражаем искомое давление $p_1$:

$ p_1 = p_2 \frac{\sqrt{T_1}}{\sqrt{T_2}} = p_2 \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} $

Ответ: $p_1 = p_2 \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$