Номер 1, страница 61, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 32. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам - номер 1, страница 61.

Условие.

°1. Докажите, что внутренняя энергия одноатомного идеального газа выражается формулой

$U = \frac{3}{2}\nu RT$

Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа при изменении температуры выражается формулой

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R\Delta T$,

где $\Delta T$ — разность конечной и начальной температур газа.

Решение 2.

1. Докажите, что внутренняя энергия одноатомного идеального газа выражается формулой $U = \frac{3}{2}\nu RT$. Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа при изменении температуры выражается формулой $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$.

Решение

Доказательство формулы $U = \frac{3}{2}\nu RT$

Внутренняя энергия $\text{U}$ идеального одноатомного газа по определению является суммой кинетических энергий хаотического (теплового) движения всех его атомов. Потенциальной энергией взаимодействия атомов в модели идеального газа пренебрегают, так как считается, что частицы не взаимодействуют на расстоянии.

Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной частицы (атома) идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре $\text{T}$:

$\overline{E_k} = \frac{3}{2}kT$

где $\text{k}$ – постоянная Больцмана. Коэффициент $\frac{3}{2}$ обусловлен наличием у одноатомной молекулы (рассматриваемой как материальная точка) трех степеней свободы поступательного движения (вдоль координатных осей x, y, z).

Чтобы найти полную внутреннюю энергию $\text{U}$ всего газа, необходимо умножить среднюю кинетическую энергию одной частицы на общее число частиц $\text{N}$ в газе:

$U = N \cdot \overline{E_k} = N \cdot \frac{3}{2}kT$

Число частиц $\text{N}$ можно выразить через количество вещества $\nu$ (в молях) и постоянную Авогадро $N_A$:

$N = \nu \cdot N_A$

Подставим это выражение в формулу для внутренней энергии:

$U = (\nu N_A) \cdot \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}\nu(N_A k)T$

Произведение постоянной Авогадро $N_A$ и постоянной Больцмана $\text{k}$ является универсальной газовой постоянной $\text{R}$:

$R = N_A \cdot k$

Заменив $N_A k$ на $\text{R}$, получаем искомую формулу:

$U = \frac{3}{2}\nu RT$.

Доказательство формулы $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$

Эта формула является следствием предыдущей. Изменение внутренней энергии $\Delta U$ равно разности между конечной внутренней энергией $U_2$ (при температуре $T_2$) и начальной внутренней энергией $U_1$ (при температуре $T_1$).

$\Delta U = U_2 - U_1$

Используя доказанную выше формулу, запишем выражения для $U_1$ и $U_2$:

$U_1 = \frac{3}{2}\nu RT_1$

$U_2 = \frac{3}{2}\nu RT_2$

Подставим эти выражения в формулу для изменения внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu RT_2 - \frac{3}{2}\nu RT_1$

Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}\nu R$ за скобки:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1)$

Разность температур $(T_2 - T_1)$ — это изменение температуры $\Delta T = T_2 - T_1$.

Таким образом, получаем окончательную формулу для изменения внутренней энергии одноатомного идеального газа:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$.

Ответ: Доказано, что внутренняя энергия одноатомного идеального газа выражается формулой $U = \frac{3}{2}\nu RT$, а ее изменение при изменении температуры газа — формулой $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$.