Номер 4, страница 62, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 32. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам - номер 4, страница 62.

Условие.

°4. Докажите, что внутреннюю энергию одноатомного идеального газа можно найти по формуле

$U = \frac{3}{2}pV$

Из этой формулы следует, что изменение внутренней энергии одноатомного газа можно выразить формулой

$\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$

Здесь $\Delta(pV)$ — изменение произведения давления газа на его объём. Например, при переходе данной массы газа из состояния 1 в состояние 2

$\Delta(pV) = p_2V_2 - p_1V_1$

Следовательно, изменение внутренней энергии одноатомного газа

$\Delta U = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1)$

Применим это соотношение к некоторым газовым процессам.

Решение 2.

Решение

Внутренняя энергия идеального газа $\text{U}$ по определению является суммой кинетических энергий хаотического движения всех его молекул. Потенциальной энергией взаимодействия молекул в модели идеального газа пренебрегают.

Таким образом, внутреннюю энергию можно выразить как:

$U = N \cdot \bar{E_к}$

где $\text{N}$ — общее число молекул газа, а $\bar{E_к}$ — средняя кинетическая энергия одной молекулы.

Из молекулярно-кинетической теории известно, что средняя кинетическая энергия теплового движения молекулы связана с абсолютной температурой $\text{T}$ соотношением:

$\bar{E_к} = \frac{i}{2}kT$

Здесь $\text{k}$ — постоянная Больцмана, а $\text{i}$ — число степеней свободы молекулы. Для одноатомного идеального газа молекулы рассматриваются как материальные точки, которые могут двигаться только поступательно вдоль трех пространственных осей (x, y, z). Следовательно, число степеней свободы для одноатомного газа равно $i = 3$.

Тогда средняя кинетическая энергия одной молекулы одноатомного газа равна:

$\bar{E_к} = \frac{3}{2}kT$

Подставим это выражение в формулу для внутренней энергии:

$U = N \cdot \left(\frac{3}{2}kT\right) = \frac{3}{2}NkT$

Для завершения доказательства воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона-Менделеева) в форме, связывающей давление $\text{p}$, объем $\text{V}$ и температуру $\text{T}$ через число молекул $\text{N}$:

$pV = NkT$

Теперь заменим произведение $NkT$ в формуле для внутренней энергии на эквивалентное ему произведение $pV$:

$U = \frac{3}{2}(NkT) = \frac{3}{2}pV$

Таким образом, мы доказали, что внутреннюю энергию одноатомного идеального газа можно найти по формуле $U = \frac{3}{2}pV$.

Ответ:

Доказательство основано на определении внутренней энергии идеального газа $U=N \cdot \bar{E_к}$, формуле для средней кинетической энергии молекулы одноатомного газа $\bar{E_к} = \frac{3}{2}kT$ и уравнении состояния идеального газа $pV=NkT$. Последовательная подстановка этих соотношений приводит к искомой формуле $U = \frac{3}{2}pV$.