Номер 4, страница 72, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 33. Тепловые двигатели. Второй закон термодинамики - номер 4, страница 72.

Условие.

4. На рисунке 33.3 изображён график цикла для некоторой массы одноатомного идеального газа.

а) Какими изопроцессами являются этапы цикла?

б) На каком этапе газ совершает положительную работу? Выразите её через $p_0$ и $V_0$.

в) Выразите через $p_0$ и $V_0$ количество теплоты $Q_1$, полученное газом от нагревателя за один цикл.

г) Выразите через $p_0$ и $V_0$ полезную работу газа за один цикл.

д) Чему равен КПД данного цикла?

Рис. 33.3

Решение 2.

Дано:

Циклический процесс $a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow d \rightarrow a$ для некоторой массы одноатомного идеального газа.

Параметры в узловых точках цикла, исходя из графика (обозначим одну клетку по оси V как $V_0$, а по оси p как $p_0$):

Точка a: $V_a = V_0, p_a = 2p_0$

Точка b: $V_b = 2V_0, p_b = 2p_0$

Точка c: $V_c = 2V_0, p_c = p_0$

Точка d: $V_d = V_0, p_d = p_0$

Найти:

а) Типы изопроцессов на каждом этапе.

б) Положительную работу газа и этап, на котором она совершается.

в) Количество теплоты $Q_1$, полученное газом от нагревателя за цикл.

г) Полезную работу газа за цикл.

д) КПД цикла $\eta$.

Решение:

а) Проанализируем каждый этап цикла на графике в координатах $(p, V)$:

• Этап a → b: Давление постоянно ($p = 2p_0 = const$), объем увеличивается. Это изобарное расширение.

• Этап b → c: Объем постоянен ($V = 2V_0 = const$), давление уменьшается. Это изохорное охлаждение.

• Этап c → d: Давление постоянно ($p = p_0 = const$), объем уменьшается. Это изобарное сжатие.

• Этап d → a: Объем постоянен ($V = V_0 = const$), давление увеличивается. Это изохорное нагревание.

Ответ: Этапы цикла: a → b - изобарное расширение, b → c - изохорное охлаждение, c → d - изобарное сжатие, d → a - изохорное нагревание.

б) Газ совершает положительную работу при расширении, то есть когда его объем увеличивается ($\Delta V > 0$).

Из всех этапов объем увеличивается только на этапе a → b. Работа газа на этом этапе (изобарное расширение) вычисляется по формуле $A = p \Delta V$.

$A_{ab} = p_a (V_b - V_a) = 2p_0 (2V_0 - V_0) = 2p_0 V_0$.

На этапах b → c и d → a объем не меняется, работа равна нулю. На этапе c → d газ сжимается, работа газа отрицательна.

Ответ: Газ совершает положительную работу на этапе a → b, и она равна $2p_0V_0$.

в) Количество теплоты $Q_1$, полученное газом от нагревателя, — это сумма всей теплоты, подведенной к газу за цикл (когда $Q > 0$). Используем первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии равно $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \Delta(pV)$.

• Этап a → b (изобарное расширение):

$A_{ab} = 2p_0V_0$ (из пункта б).

$\Delta U_{ab} = \frac{3}{2}(p_bV_b - p_aV_a) = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot 2V_0 - 2p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}(4p_0V_0 - 2p_0V_0) = \frac{3}{2}(2p_0V_0) = 3p_0V_0$.

$Q_{ab} = \Delta U_{ab} + A_{ab} = 3p_0V_0 + 2p_0V_0 = 5p_0V_0$. Так как $Q_{ab} > 0$, газ получает тепло.

• Этап b → c (изохорное охлаждение):

$A_{bc} = 0$, так как $\Delta V = 0$.

$\Delta U_{bc} = \frac{3}{2}(p_cV_c - p_bV_b) = \frac{3}{2}(p_0 \cdot 2V_0 - 2p_0 \cdot 2V_0) = \frac{3}{2}(-2p_0V_0) = -3p_0V_0$.

$Q_{bc} = \Delta U_{bc} = -3p_0V_0$. Так как $Q_{bc} < 0$, газ отдает тепло.

• Этап c → d (изобарное сжатие):

$A_{cd} = p_c (V_d - V_c) = p_0 (V_0 - 2V_0) = -p_0V_0$.

$\Delta U_{cd} = \frac{3}{2}(p_dV_d - p_cV_c) = \frac{3}{2}(p_0 \cdot V_0 - p_0 \cdot 2V_0) = -\frac{3}{2}p_0V_0$.

$Q_{cd} = \Delta U_{cd} + A_{cd} = -\frac{3}{2}p_0V_0 - p_0V_0 = -\frac{5}{2}p_0V_0$. Так как $Q_{cd} < 0$, газ отдает тепло.

• Этап d → a (изохорное нагревание):

$A_{da} = 0$, так как $\Delta V = 0$.

$\Delta U_{da} = \frac{3}{2}(p_aV_a - p_dV_d) = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot V_0 - p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}p_0V_0$.

$Q_{da} = \Delta U_{da} = \frac{3}{2}p_0V_0$. Так как $Q_{da} > 0$, газ получает тепло.

Суммарное количество полученной теплоты $Q_1$ равно сумме положительных значений Q:

$Q_1 = Q_{ab} + Q_{da} = 5p_0V_0 + \frac{3}{2}p_0V_0 = \frac{10p_0V_0 + 3p_0V_0}{2} = \frac{13}{2}p_0V_0$.

Ответ: $Q_1 = \frac{13}{2}p_0V_0$.

г) Полезная работа газа за один цикл $A_{полезн}$ равна сумме работ на всех этапах. На p-V диаграмме она численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла. В данном случае это площадь прямоугольника abcd.

Длины сторон прямоугольника:

$\Delta p = p_a - p_d = 2p_0 - p_0 = p_0$

$\Delta V = V_b - V_a = 2V_0 - V_0 = V_0$

Площадь (полезная работа): $A_{полезн} = \Delta p \cdot \Delta V = p_0V_0$.

Так как цикл проходится по часовой стрелке, работа газа положительна.

Ответ: $A_{полезн} = p_0V_0$.

д) Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение полезной работы за цикл к количеству теплоты, полученному от нагревателя.

$\eta = \frac{A_{полезн}}{Q_1}$

Подставляем значения, найденные в пунктах в) и г):

$\eta = \frac{p_0V_0}{\frac{13}{2}p_0V_0} = \frac{1}{\frac{13}{2}} = \frac{2}{13}$.

В процентах это примерно $15,4\%$.

Ответ: $\eta = \frac{2}{13}$.