Номер 5, страница 72, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 33. Тепловые двигатели. Второй закон термодинамики - номер 5, страница 72.

Условие.

5. На рисунке 33.4 изображён график циклического процесса, происходящего с некоторой массой одноатомного газа. Чему равен КПД цикла?

Рис. 33.4

Решение 2.

Дано:

График циклического процесса 1-2-3 в координатах $p-V$.

Газ – одноатомный.

Параметры состояний, взятые из графика:

Состояние 1: $p_1 = p_0$, $V_1 = V_0$

Состояние 2: $p_2 = 2p_0$, $V_2 = V_0$

Состояние 3: $p_3 = p_0$, $V_3 = 4V_0$

Найти:

КПД цикла $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{цикл}}{Q_н}$

где $A_{цикл}$ – работа, совершаемая газом за цикл, а $Q_н$ – количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

Работа газа за цикл $A_{цикл}$ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на диаграмме $p-V$. В данном случае это площадь прямоугольного треугольника 1-2-3.

$A_{цикл} = \frac{1}{2} \cdot (V_3 - V_1) \cdot (p_2 - p_1)$

$A_{цикл} = \frac{1}{2} \cdot (4V_0 - V_0) \cdot (2p_0 - p_0) = \frac{1}{2} \cdot 3V_0 \cdot p_0 = \frac{3}{2} p_0 V_0$

Количество теплоты, полученное от нагревателя $Q_н$, – это сумма теплоты, подведенной к газу на тех участках цикла, где $Q > 0$. Для определения таких участков рассмотрим каждый процесс отдельно, используя первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $\text{A}$ – работа газа, а $\Delta U$ – изменение его внутренней энергии. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии равно $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.

1. Процесс 1-2 (изохорное нагревание, $V = const$):

Работа газа $A_{12} = 0$, так как объем не меняется.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot V_0 - p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}p_0V_0$

Количество теплоты:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2}p_0V_0 + 0 = \frac{3}{2}p_0V_0$

Так как $Q_{12} > 0$, газ получает тепло.

2. Процесс 2-3 (расширение):

Работа газа $A_{23}$ равна площади трапеции под отрезком 2-3:

$A_{23} = \frac{p_2 + p_3}{2}(V_3 - V_2) = \frac{2p_0 + p_0}{2}(4V_0 - V_0) = \frac{3p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{9}{2}p_0V_0$

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(p_0 \cdot 4V_0 - 2p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}(2p_0V_0) = 3p_0V_0$

Количество теплоты:

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 3p_0V_0 + \frac{9}{2}p_0V_0 = \frac{6p_0V_0 + 9p_0V_0}{2} = \frac{15}{2}p_0V_0$

Так как $Q_{23} > 0$, газ получает тепло.

3. Процесс 3-1 (изобарное сжатие, $p = const$):

В этом процессе объем уменьшается, следовательно, работа газа отрицательна. Также уменьшается температура (так как $T \sim V$ при $p=const$), значит, внутренняя энергия уменьшается. Следовательно, теплота отводится от газа ($Q_{31} < 0$), и этот участок не входит в $Q_н$.

Полное количество теплоты, полученное от нагревателя, равно сумме теплот на участках 1-2 и 2-3:

$Q_н = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2}p_0V_0 + \frac{15}{2}p_0V_0 = \frac{18}{2}p_0V_0 = 9p_0V_0$

Теперь можем найти КПД цикла:

$\eta = \frac{A_{цикл}}{Q_н} = \frac{\frac{3}{2}p_0V_0}{9p_0V_0} = \frac{3}{2 \cdot 9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

Ответ: КПД цикла равен $\frac{1}{6}$.