Номер 29, страница 69, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 32. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам - номер 29, страница 69.

Условие.

29. Какое количество теплоты получили 4 моля одноатомного газа в результате изобарного нагревания и последующего изохорного нагревания, если в результате этих процессов как объём, так и давление газа увеличились в 3 раза, а начальная температура газа была равна 100 К?

Решение 2.

Дано:

Количество вещества одноатомного газа: $ \nu = 4 \text{ моль} $

Начальная температура: $ T_1 = 100 \text{ К} $

Процесс 1-2: изобарное нагревание ($ P = \text{const} $)

Процесс 2-3: изохорное нагревание ($ V = \text{const} $)

Изменение давления за два процесса: $ P_{конечн} = 3 P_{начальн} $

Изменение объема за два процесса: $ V_{конечн} = 3 V_{начальн} $

Универсальная газовая постоянная: $ R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} $

Найти:

Общее количество теплоты: $ Q_{общ} $

Решение:

Общее количество теплоты $ Q_{общ} $, полученное газом, равно сумме количеств теплоты, полученных в каждом процессе: сначала в изобарном ($ Q_{12} $), а затем в изохорном ($ Q_{23} $).

$ Q_{общ} = Q_{12} + Q_{23} $

Обозначим параметры газа в начальном состоянии (1), промежуточном (2) и конечном (3) как $ (P_1, V_1, T_1) $, $ (P_2, V_2, T_2) $ и $ (P_3, V_3, T_3) $ соответственно.

Процесс 1-2 – изобарный, следовательно, давление постоянно: $ P_2 = P_1 $.

Процесс 2-3 – изохорный, следовательно, объем постоянен: $ V_2 = V_3 $.

Согласно условию, в результате двух процессов объем и давление увеличились в 3 раза. Это значит:

$ V_3 = 3 V_1 $

$ P_3 = 3 P_1 $

Из этого следует, что $ V_2 = V_3 = 3V_1 $. Таким образом, в ходе изобарного процесса объем увеличился в 3 раза. Найдем температуру $ T_2 $ в конце изобарного процесса, используя закон Гей-Люссака:

$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies T_2 = T_1 \frac{V_2}{V_1} = T_1 \frac{3V_1}{V_1} = 3T_1 $

$ T_2 = 3 \cdot 100 \text{ К} = 300 \text{ К} $

Количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе, рассчитывается по формуле:

$ Q_{12} = \nu C_p (T_2 - T_1) $, где $ C_p $ – молярная теплоемкость при постоянном давлении. Для одноатомного газа $ C_p = \frac{5}{2} R $.

$ Q_{12} = \nu \frac{5}{2} R (3T_1 - T_1) = \nu \frac{5}{2} R (2T_1) = 5 \nu R T_1 $

Теперь рассмотрим изохорный процесс 2-3. Давление изменяется от $ P_2 = P_1 $ до $ P_3 = 3P_1 $. Найдем температуру $ T_3 $ в конце изохорного процесса, используя закон Шарля:

$ \frac{P_2}{T_2} = \frac{P_3}{T_3} \implies T_3 = T_2 \frac{P_3}{P_2} = T_2 \frac{3P_1}{P_1} = 3T_2 $

Так как $ T_2 = 3T_1 $, то $ T_3 = 3(3T_1) = 9T_1 $.

$ T_3 = 9 \cdot 100 \text{ К} = 900 \text{ К} $

Количество теплоты, полученное газом в изохорном процессе, рассчитывается по формуле:

$ Q_{23} = \nu C_V (T_3 - T_2) $, где $ C_V $ – молярная теплоемкость при постоянном объеме. Для одноатомного газа $ C_V = \frac{3}{2} R $.

$ Q_{23} = \nu \frac{3}{2} R (9T_1 - 3T_1) = \nu \frac{3}{2} R (6T_1) = 9 \nu R T_1 $

Найдем общее количество теплоты:

$ Q_{общ} = Q_{12} + Q_{23} = 5 \nu R T_1 + 9 \nu R T_1 = 14 \nu R T_1 $

Подставим числовые значения:

$ Q_{общ} = 14 \cdot 4 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 100 \text{ К} = 56 \cdot 831 \text{ Дж} = 46536 \text{ Дж} $

Выразим ответ в килоджоулях, округлив до трех значащих цифр:

$ Q_{общ} \approx 46.5 \text{ кДж} $

Ответ: $ 46.5 \text{ кДж} $.