Номер 26, страница 69, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 32. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам - номер 26, страница 69.

Условие.

26. Начальная температура одного моля одноатомного газа равна 300 К. Насколько изменилась внутренняя энергия газа, если состояние газа изменялось по закону $p^3V = \text{const}$, а его объём увеличился в 8 раз?

Решение 2.

Дано:

$v = 1 \text{ моль}$

$T_1 = 300 \text{ К}$

Газ одноатомный

Процесс: $p^3V = \text{const}$

$\frac{V_2}{V_1} = 8$

$R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ (универсальная газовая постоянная)

Найти:

$\Delta U$

Решение:

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ для $\text{v}$ молей одноатомного идеального газа вычисляется по формуле:

$\Delta U = \frac{3}{2} v R (T_2 - T_1)$

где $T_1$ и $T_2$ — начальная и конечная температуры газа.

Для нахождения конечной температуры $T_2$ используем уравнение состояния идеального газа $pV = vRT$ и заданное уравнение процесса $p^3V = \text{const}$.

Из уравнения состояния идеального газа выразим давление $\text{p}$:

$p = \frac{vRT}{V}$

Подставим это выражение для давления в уравнение процесса:

$(\frac{vRT}{V})^3 V = \text{const}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{(vR)^3 T^3}{V^3} V = \text{const}$

$\frac{T^3}{V^2} = \text{const}$

Это означает, что для начального (1) и конечного (2) состояний газа выполняется соотношение:

$\frac{T_1^3}{V_1^2} = \frac{T_2^3}{V_2^2}$

Выразим отсюда конечную температуру $T_2$:

$T_2^3 = T_1^3 \frac{V_2^2}{V_1^2} = T_1^3 (\frac{V_2}{V_1})^2$

$T_2 = T_1 \sqrt[3]{(\frac{V_2}{V_1})^2} = T_1 (\frac{V_2}{V_1})^{2/3}$

По условию задачи, объём увеличился в 8 раз, то есть $\frac{V_2}{V_1} = 8$. Подставим числовые значения:

$T_2 = 300 \text{ К} \cdot (8)^{2/3} = 300 \text{ К} \cdot (\sqrt[3]{8})^2 = 300 \text{ К} \cdot 2^2 = 300 \text{ К} \cdot 4 = 1200 \text{ К}$.

Теперь мы можем рассчитать изменение внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 1 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (1200 \text{ К} - 300 \text{ К})$

$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 900 \text{ К}$

$\Delta U = 1.5 \cdot 8.31 \cdot 900 \text{ Дж} = 11218.5 \text{ Дж}$.

Результат можно выразить в килоджоулях: $\Delta U \approx 11.2 \text{ кДж}$.

Ответ:

Изменение внутренней энергии газа составило $11218.5 \text{ Дж}$ (или приблизительно $11.2 \text{ кДж}$).