Номер 22, страница 68, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 32. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам - номер 22, страница 68.

Условие.

22. Чему равна концентрация молекул одноатомного газа, находящегося в сосуде объёмом 5 л при температуре 27 °C, если внутренняя энергия газа равна 300 Дж?

Решение 2.

Дано:

Газ — одноатомный
Объём, $V = 5$ л
Температура, $t = 27$ °C
Внутренняя энергия, $U = 300$ Дж
Постоянная Больцмана, $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Переведём данные в систему СИ:
$V = 5 \text{ л} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$T = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

Концентрация молекул, $\text{n}$

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется по формуле, связывающей её с числом молекул и температурой:
$U = \frac{3}{2} N k T$,
где $\text{N}$ — число молекул газа, $\text{k}$ — постоянная Больцмана, $\text{T}$ — абсолютная температура.

Концентрация молекул $\text{n}$ по определению равна отношению числа молекул $\text{N}$ к объёму $\text{V}$, который занимает газ:
$n = \frac{N}{V}$

Для того чтобы найти концентрацию, сначала выразим число молекул $\text{N}$ из формулы для внутренней энергии:
$2U = 3 N k T$
$N = \frac{2U}{3kT}$

Теперь подставим полученное выражение для $\text{N}$ в формулу для концентрации:
$n = \frac{1}{V} \cdot N = \frac{1}{V} \cdot \frac{2U}{3kT} = \frac{2U}{3kTV}$

Все величины в правой части уравнения известны. Подставим их числовые значения и произведём расчёт:
$n = \frac{2 \cdot 300 \text{ Дж}}{3 \cdot (1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}) \cdot 300 \text{ К} \cdot (5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3)} = \frac{600}{3 \cdot 1.38 \cdot 300 \cdot 5 \cdot 10^{-26}} \text{ м}^{-3}$

Упростим выражение:
$n = \frac{600}{(3 \cdot 1.38 \cdot 300 \cdot 5) \cdot 10^{-26}} = \frac{600}{6210 \cdot 10^{-26}} = \frac{600}{6.21 \cdot 10^{-23}} \approx 96.62 \cdot 10^{23} \text{ м}^{-3}$

Запишем результат в стандартном виде, округлив до сотых:
$n \approx 9.66 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3}$

Ответ: концентрация молекул одноатомного газа равна примерно $9.66 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3}$.