Номер 20, страница 68, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 32. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам - номер 20, страница 68.

Условие.

20. В закрытом сосуде содержится 5 г гелия и 30 г аргона при температуре 300 К. Чему равна внутренняя энергия смеси газов?

Решение 2.

Дано:

$m_{He} = 5 \text{ г} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$m_{Ar} = 30 \text{ г} = 30 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$T = 300 \text{ К}$

$M_{He} = 4 \text{ г/моль} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

$M_{Ar} = 40 \text{ г/моль} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

$R \approx 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ (универсальная газовая постоянная)

Найти:

$\text{U}$ - ?

Решение:

Внутренняя энергия смеси идеальных газов аддитивна, то есть она равна сумме внутренних энергий каждого из компонентов смеси. Газы гелий (He) и аргон (Ar) являются одноатомными, так как это инертные газы. Для одноатомного идеального газа число степеней свободы $i=3$.

Внутренняя энергия идеального газа определяется по формуле:

$U_{газа} = \frac{i}{2} \nu R T$

где $\nu$ — количество вещества, которое вычисляется как отношение массы газа $\text{m}$ к его молярной массе $\text{M}$: $\nu = \frac{m}{M}$.

Таким образом, общая внутренняя энергия смеси $\text{U}$ будет равна:

$U = U_{He} + U_{Ar} = \frac{3}{2} \nu_{He} R T + \frac{3}{2} \nu_{Ar} R T$

Можно вынести за скобки общий множитель $\frac{3}{2} R T$:

$U = \frac{3}{2} R T (\nu_{He} + \nu_{Ar}) = \frac{3}{2} R T \left( \frac{m_{He}}{M_{He}} + \frac{m_{Ar}}{M_{Ar}} \right)$

Сначала вычислим количество вещества для каждого газа:

Количество вещества гелия:

$\nu_{He} = \frac{m_{He}}{M_{He}} = \frac{5 \text{ г}}{4 \text{ г/моль}} = 1.25 \text{ моль}$

Количество вещества аргона:

$\nu_{Ar} = \frac{m_{Ar}}{M_{Ar}} = \frac{30 \text{ г}}{40 \text{ г/моль}} = 0.75 \text{ моль}$

Теперь подставим все численные значения в формулу для полной внутренней энергии:

$U = \frac{3}{2} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} \cdot (1.25 \text{ моль} + 0.75 \text{ моль})$

$U = \frac{3}{2} \cdot 8.31 \cdot 300 \cdot (2.0)$

$U = 3 \cdot 8.31 \cdot 300$

$U = 7479 \text{ Дж}$

Результат можно также выразить в килоджоулях: $7479 \text{ Дж} \approx 7.48 \text{ кДж}$.

Ответ: внутренняя энергия смеси газов равна $7479 \text{ Дж}$.