Номер 14, страница 66, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 32. Применение первого закона термодинамики к газовым процессам - номер 14, страница 66.

Условие.

14. Рассмотрим циклический процесс, происходящий с данной массой одноатомного газа (рис. 32.12). Среди этих этапов есть изотермический и адиабатный процессы. Обозначим $\text{v}$ количество вещества в газе, $T_1$, $T_2$ и $T_3$ — значения его абсолютной температуры соответственно в состояниях 1, 2, 3.

а) Есть ли среди значений $T_1$, $T_2$ и $T_3$ одинаковые?

б) Выразите работу газа в изобарном процессе через величины, приведённые в условии.

в) Выразите изменение внутренней энергии газа в изобарном процессе через величины, приведённые в условии.

г) Выразите количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе, через величины, приведённые в условии.

д) Выразите работу газа в адиабатном процессе через величины, приведённые в условии.

е) Как связано количество теплоты, отданное газом в изотермическом процессе, с работой внешних сил над газом?

Решение 2.

Дано:

Газ: одноатомный, идеальный

Количество вещества: $\text{v}$

Температуры в состояниях 1, 2, 3: $T_1, T_2, T_3$

Процессы в цикле: изобарный, адиабатный, изотермический.

Найти:

а) Наличие одинаковых температур среди $T_1, T_2, T_3$.

б) Работу газа $A_{из}$ в изобарном процессе.

в) Изменение внутренней энергии $\Delta U_{из}$ в изобарном процессе.

г) Количество теплоты $Q_{из}$ в изобарном процессе.

д) Работу газа $A_{ад}$ в адиабатном процессе.

е) Связь между количеством теплоты, отданным газом ($Q_{отд}$), и работой внешних сил ($A_{внеш}$) в изотермическом процессе.

Решение:

Поскольку конкретный вид цикла (p-V диаграмма) не представлен, сделаем разумное предположение о последовательности процессов, чтобы дать конкретные ответы. Пусть цикл состоит из следующих этапов: 1→2 – изобарный процесс, 2→3 – адиабатный процесс, и 3→1 – изотермический процесс. В этом случае, как будет показано ниже, $T_1=T_3$.

а) Есть ли среди значений $T_1, T_2$ и $T_3$ одинаковые?
Да, есть. В условии сказано, что один из процессов является изотермическим. Изотермический процесс – это процесс, протекающий при постоянной температуре. Следовательно, температуры в начальном и конечном состояниях этого процесса равны. Если, как мы предположили, изотермическим является процесс 3→1, то температуры в состояниях 1 и 3 одинаковы: $T_1 = T_3$. Температура в состоянии 2 ($T_2$) будет отличаться от $T_1$ и $T_3$.
Ответ: Да, две из трех температур равны, так как один из этапов цикла является изотермическим. Например, $T_1 = T_3$.

б) Выразите работу газа в изобарном процессе через величины, приведённые в условии.
Работа, совершаемая газом в изобарном процессе (процесс с постоянным давлением $\text{p}$), вычисляется по формуле $A = p \Delta V = p(V_{кон} - V_{нач})$. Пусть изобарный процесс происходит между состояниями 1 и 2. Тогда $A_{12} = p_1(V_2 - V_1)$. Используя уравнение состояния идеального газа $pV = vRT$, где $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, мы можем выразить $p_1V_1 = vRT_1$ и $p_1V_2 = vRT_2$. Подставив эти выражения в формулу для работы, получим: $A_{12} = p_1V_2 - p_1V_1 = vRT_2 - vRT_1 = vR(T_2 - T_1)$.
Ответ: Работа газа в изобарном процессе, происходящем между состояниями с температурами $T_{нач}$ и $T_{кон}$, равна $A_{из} = vR(T_{кон} - T_{нач})$. Для процесса 1→2 работа равна $A_{12} = vR(T_2 - T_1)$.

в) Выразите изменение внутренней энергии газа в изобарном процессе через величины, приведённые в условии.
Изменение внутренней энергии $\Delta U$ идеального газа зависит только от изменения его температуры и не зависит от вида процесса. Для одноатомного газа (число степеней свободы $i=3$) изменение внутренней энергии равно $\Delta U = \frac{3}{2} vR \Delta T$. Для изобарного процесса 1→2 изменение температуры составляет $\Delta T = T_2 - T_1$. Следовательно, изменение внутренней энергии: $\Delta U_{12} = \frac{3}{2} vR(T_2 - T_1)$.
Ответ: Изменение внутренней энергии в изобарном процессе, происходящем между состояниями с температурами $T_{нач}$ и $T_{кон}$, равно $\Delta U_{из} = \frac{3}{2} vR(T_{кон} - T_{нач})$. Для процесса 1→2 изменение внутренней энергии равно $\Delta U_{12} = \frac{3}{2} vR(T_2 - T_1)$.

г) Выразите количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе, через величины, приведённые в условии.
Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, полученное газом, равно сумме изменения его внутренней энергии $\Delta U$ и работы $\text{A}$, совершённой газом: $Q = \Delta U + A$. Для изобарного процесса 1→2, используя результаты из пунктов (б) и (в), получаем: $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2} vR(T_2 - T_1) + vR(T_2 - T_1) = (\frac{3}{2} + 1)vR(T_2 - T_1) = \frac{5}{2} vR(T_2 - T_1)$.
Ответ: Количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе, происходящем между состояниями с температурами $T_{нач}$ и $T_{кон}$, равно $Q_{из} = \frac{5}{2} vR(T_{кон} - T_{нач})$. Для процесса 1→2 количество теплоты равно $Q_{12} = \frac{5}{2} vR(T_2 - T_1)$.

д) Выразите работу газа в адиабатном процессе через величины, приведённые в условии.
Адиабатный процесс – это процесс, который происходит без теплообмена с окружающей средой, то есть $Q = 0$. Согласно первому началу термодинамики ($Q = \Delta U + A$), для адиабатного процесса работа, совершаемая газом, равна убыли его внутренней энергии: $A = -\Delta U$. Пусть адиабатный процесс происходит между состояниями 2 и 3. Изменение внутренней энергии в этом процессе равно $\Delta U_{23} = \frac{3}{2} vR(T_3 - T_2)$. Тогда работа газа: $A_{23} = -\Delta U_{23} = -\frac{3}{2} vR(T_3 - T_2) = \frac{3}{2} vR(T_2 - T_3)$.
Ответ: Работа газа в адиабатном процессе, происходящем между состояниями с температурами $T_{нач}$ и $T_{кон}$, равна $A_{ад} = \frac{3}{2} vR(T_{нач} - T_{кон})$. Для процесса 2→3 работа равна $A_{23} = \frac{3}{2} vR(T_2 - T_3)$.

е) Как связано количество теплоты, отданное газом в изотермическом процессе, с работой внешних сил над газом?
В изотермическом процессе температура газа остается постоянной ($T = \text{const}$), поэтому изменение его внутренней энергии равно нулю ($\Delta U = 0$). Согласно первому началу термодинамики, $Q = \Delta U + A$, для изотермического процесса количество теплоты, полученное газом ($Q_{получ}$), равно работе, совершённой газом ($A_{газа}$): $Q_{получ} = A_{газа}$. Количество теплоты, отданное газом ($Q_{отд}$), равно по модулю и противоположно по знаку количеству теплоты, полученному газом: $Q_{отд} = -Q_{получ}$. Работа внешних сил над газом ($A_{внеш}$) равна по модулю и противоположна по знаку работе, совершённой газом: $A_{внеш} = -A_{газа}$. Подставляя эти соотношения в первое уравнение, получаем: $-Q_{отд} = -A_{внеш}$, откуда следует, что $Q_{отд} = A_{внеш}$.
Ответ: Количество теплоты, отданное газом в изотермическом процессе, равно работе, совершённой внешними силами над газом.