Номер 16, страница 130, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 39. Электроёмкость. Энергия электрического поля - номер 16, страница 130.

Условие.

16. Частица с зарядом $\text{q}$ и массой $\text{m}$ влетает в заряженный плоский конденсатор в точке, находящейся посередине между обкладками (рис. 39.3). Начальная скорость частицы равна по модулю $v_0$ и параллельна обкладкам. Расстояние между обкладками равно $\text{d}$, а напряжение между ними равно $\text{U}$. Длина каждой обкладки равна $\text{l}$.

Рис. 39.3

а) Запишите выражения для проекций ускорения частицы на показанные оси координат.

б) Запишите выражения для проекций скорости частицы на те же оси координат.

в) Запишите выражения для зависимости координат частицы от времени.

г) При какой начальной скорости частица пролетит сквозь конденсатор, то есть не попадёт на обкладку?

Решение 2.

Дано:
Заряд частицы: $\text{q}$
Масса частицы: $\text{m}$
Начальная скорость: $v_0$
Расстояние между обкладками: $\text{d}$
Напряжение между обкладками: $\text{U}$
Длина обкладок: $\text{l}$

Найти:
а) $a_x$, $a_y$ - проекции ускорения;
б) $v_x(t)$, $v_y(t)$ - проекции скорости;
в) $x(t)$, $y(t)$ - зависимости координат от времени;
г) условие на $v_0$, при котором частица пролетит сквозь конденсатор.

Решение:

Внутри плоского конденсатора на заряженную частицу действует постоянная электрическая сила (пренебрегая краевыми эффектами). Силой тяжести в подобных задачах обычно пренебрегают. Напряженность электрического поля $\text{E}$ в конденсаторе однородна, направлена от положительной обкладки к отрицательной (вдоль оси $\text{y}$ в данной системе координат) и равна по модулю $E = \frac{U}{d}$.

Сила, действующая на частицу, $\vec{F} = q\vec{E}$. Так как заряд $\text{q}$ положительный, вектор силы $\vec{F}$ сонаправлен с вектором напряженности $\vec{E}$.

а) Запишите выражения для проекций ускорения частицы на показанные оси координат.
Согласно второму закону Ньютона, $\vec{F} = m\vec{a}$. Запишем это уравнение в проекциях на оси координат.
На ось $\text{x}$ сила не действует, так как поле направлено по оси $\text{y}$: $F_x = 0$. Следовательно, $ma_x = 0$, откуда $a_x = 0$.
На ось $\text{y}$ действует сила $F_y = qE = q\frac{U}{d}$. Следовательно, $ma_y = q\frac{U}{d}$, откуда $a_y = \frac{qU}{md}$.
Ответ: $a_x = 0$; $a_y = \frac{qU}{md}$.

б) Запишите выражения для проекций скорости частицы на те же оси координат.
Проекции скорости для равноускоренного движения определяются формулами $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$ и $v_y(t) = v_{0y} + a_y t$.
Начальная скорость частицы $\vec{v}_0$ направлена вдоль оси $\text{x}$, поэтому её проекции равны $v_{0x} = v_0$ и $v_{0y} = 0$.
Проекция скорости на ось $\text{x}$: $v_x(t) = v_0 + 0 \cdot t = v_0$.
Проекция скорости на ось $\text{y}$: $v_y(t) = 0 + \frac{qU}{md}t = \frac{qUt}{md}$.
Ответ: $v_x(t) = v_0$; $v_y(t) = \frac{qUt}{md}$.

в) Запишите выражения для зависимости координат частицы от времени.
Координаты частицы определяются формулами $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$ и $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$.
Частица влетает в конденсатор в начале координат, поэтому $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.
Координата $\text{x}$: $x(t) = 0 + v_0 t + \frac{0 \cdot t^2}{2} = v_0 t$.
Координата $\text{y}$: $y(t) = 0 + 0 \cdot t + \frac{a_y t^2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{qU}{md}\right)t^2 = \frac{qUt^2}{2md}$.
Ответ: $x(t) = v_0 t$; $y(t) = \frac{qUt^2}{2md}$.

г) При какой начальной скорости частица пролетит сквозь конденсатор, то есть не попадет на обкладку?
Чтобы частица пролетела сквозь конденсатор, ее вертикальное смещение $\text{y}$ к моменту вылета из конденсатора не должно превышать половину расстояния между обкладками, так как она влетает посередине. Максимально допустимое смещение равно $\frac{d}{2}$.
Время полета $t_{пол}$ внутри конденсатора определяется движением вдоль оси $\text{x}$ на расстояние $\text{l}$:
$l = v_0 t_{пол} \implies t_{пол} = \frac{l}{v_0}$.
За это время смещение по оси $\text{y}$ составит:
$y(t_{пол}) = \frac{qU(t_{пол})^2}{2md} = \frac{qU}{2md}\left(\frac{l}{v_0}\right)^2 = \frac{qUl^2}{2mdv_0^2}$.
Условие, что частица не попадет на обкладку, имеет вид $y(t_{пол}) \le \frac{d}{2}$.
Подставим выражение для $y(t_{пол})$:
$\frac{qUl^2}{2mdv_0^2} \le \frac{d}{2}$.
Теперь решим это неравенство относительно $v_0$:
$\frac{qUl^2}{mdv_0^2} \le d \implies qUl^2 \le md^2 v_0^2$.
$v_0^2 \ge \frac{qUl^2}{md^2} \implies v_0 \ge \sqrt{\frac{qUl^2}{md^2}}$.
Ответ: $v_0 \ge l\sqrt{\frac{qU}{md^2}}$.