Номер 11, страница 128, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 39. Электроёмкость. Энергия электрического поля - номер 11, страница 128.

Условие.

°11. Докажите, что энергию заряженного конденсатора можно выразить также формулами:

$W_э = \frac{q^2}{2C}$, $W_э = \frac{CU^2}{2}$.

Последние две формулы кажутся противоречащими друг другу: из первой формулы следует, что энергия заряженного конденсатора обратно пропорциональна его электроёмкости, а из второй формулы следует, что энергия заряженного конденсатора прямо пропорциональна его электроёмкости. Чтобы убедиться в том, что противоречия здесь нет, надо учесть, что первая формула выражает зависимость энергии конденсатора от его электроёмкости при заданном заряде, а вторая — при заданном напряжении между обкладками.

Решение 2.

Доказательство формул для энергии конденсатора

Энергия $W_э$ заряженного конденсатора равна работе $\text{A}$, которую необходимо совершить, чтобы зарядить его. В процессе зарядки напряжение на конденсаторе не постоянно, а растет от 0 до конечного значения $\text{U}$ по мере накопления заряда от 0 до $\text{q}$.

По определению, электроёмкость конденсатора $\text{C}$ связывает заряд $\text{q}$ на его обкладках и напряжение $\text{U}$ между ними соотношением:

$C = \frac{q}{U}$ или $U = \frac{q}{C}$

Рассмотрим процесс зарядки. Когда на обкладках уже есть некоторый заряд $q'$, напряжение между ними составляет $U' = \frac{q'}{C}$. Работа $dA$, совершаемая для переноса следующего бесконечно малого заряда $dq'$ на обкладки, равна:

$dA = U' dq' = \frac{q'}{C} dq'$

Полная работа (и, следовательно, энергия $W_э$), затраченная на зарядку конденсатора от 0 до конечного заряда $\text{q}$, находится путем интегрирования этого выражения:

$W_э = A = \int_0^q dA = \int_0^q \frac{q'}{C} dq' = \frac{1}{C} \int_0^q q' dq' = \frac{1}{C} \left[ \frac{q'^2}{2} \right]_0^q = \frac{1}{C} \left( \frac{q^2}{2} - 0 \right) = \frac{q^2}{2C}$

Таким образом, мы доказали первую формулу:

$W_э = \frac{q^2}{2C}$

Для вывода второй формулы воспользуемся основной связью $q = CU$ и подставим её в только что полученную формулу для энергии:

$W_э = \frac{(CU)^2}{2C} = \frac{C^2U^2}{2C} = \frac{CU^2}{2}$

Таким образом, мы доказали и вторую формулу:

$W_э = \frac{CU^2}{2}$

Ответ: Формулы $W_э = \frac{q^2}{2C}$ и $W_э = \frac{CU^2}{2}$ являются верными выражениями для энергии заряженного конденсатора, которые выводятся из определения работы по зарядке конденсатора и основной формулы для электроёмкости $q=CU$.

Объяснение кажущегося противоречия

На первый взгляд, формулы $W_э = \frac{q^2}{2C}$ и $W_э = \frac{CU^2}{2}$ кажутся противоречивыми. Из первой следует, что энергия $W_э$ обратно пропорциональна ёмкости $\text{C}$ ($W_э \propto \frac{1}{C}$), а из второй — что энергия прямо пропорциональна ёмкости ($W_э \propto C$).

Однако противоречия здесь нет, поскольку эти формулы описывают зависимость энергии от ёмкости при разных физических условиях.

1. Формула $W_э = \frac{q^2}{2C}$ применяется, когда заряд $\text{q}$ на конденсаторе постоянен. Такая ситуация возникает, если заряженный конденсатор отключить от источника питания. Заряд на его изолированных обкладках будет сохраняться ($q = \text{const}$). Если после этого изменять ёмкость конденсатора (например, изменяя расстояние между пластинами), его энергия будет изменяться обратно пропорционально ёмкости. При увеличении ёмкости $\text{C}$ энергия $W_э$ будет уменьшаться.

2. Формула $W_э = \frac{CU^2}{2}$ применяется, когда напряжение $\text{U}$ на конденсаторе постоянно. Такая ситуация возникает, если конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения (например, к аккумулятору), который поддерживает напряжение на его обкладках неизменным ($U = \text{const}$). Если в этом случае изменять ёмкость $\text{C}$, то заряд на обкладках также будет изменяться ($q = CU$), чтобы напряжение оставалось постоянным. Энергия конденсатора при этом будет изменяться прямо пропорционально его ёмкости. При увеличении ёмкости $\text{C}$ энергия $W_э$ будет увеличиваться, так как источник совершит дополнительную работу по перемещению заряда на обкладки.

Следовательно, выбор формулы для анализа зависимости энергии от ёмкости определяется тем, какая из величин — заряд или напряжение — остается неизменной в рассматриваемом процессе.

Ответ: Противоречия нет. Формула $W_э = \frac{q^2}{2C}$ выражает зависимость энергии от ёмкости при постоянном заряде, а формула $W_э = \frac{CU^2}{2}$ — при постоянном напряжении. Это два разных физических условия.