Номер 17, страница 130, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 39. Электроёмкость. Энергия электрического поля - номер 17, страница 130.

Условие.

17. Рассмотрим ситуацию, описанную в условии предыдущей задачи (рис. 39.3). Частица пролетает сквозь конденсатор и вылетает из него.

а) Запишите выражение для тангенса угла $\alpha$ между скоростью частицы и горизонталью в момент, когда частица вылетает из конденсатора.

б) Запишите выражение для модуля скорости частицы $\text{v}$ в момент, когда она вылетает из конденсатора.

Решение 2.

Поскольку условие задачи ссылается на предыдущую задачу, будем считать, что известны следующие параметры:

Дано:

$\text{m}$ - масса частицы
$\text{q}$ - заряд частицы
$v_0$ - начальная скорость частицы (направлена горизонтально)
$\text{l}$ - длина пластин конденсатора
$\text{E}$ - напряженность однородного электрического поля в конденсаторе (направлена вертикально)

Найти:

а) $\tan(\alpha)$ - тангенс угла между вектором скорости частицы и горизонталью в момент вылета из конденсатора
б) $\text{v}$ - модуль скорости частицы в момент вылета из конденсатора

Решение:

Движение заряженной частицы в однородном электрическом поле конденсатора можно рассмотреть как суперпозицию двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (Оx) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (Оy).

Введем систему координат: ось Оx направим по начальной скорости частицы, а ось Оy - по направлению действия электрической силы. Начало координат ($x=0, y=0$) - в точке влета частицы в конденсатор.

1. Движение по горизонтальной оси (Оx):
В горизонтальном направлении на частицу не действуют силы, поэтому ускорение $a_x = 0$. Горизонтальная составляющая скорости постоянна: $v_x = v_0$. Координата $\text{x}$ изменяется по закону: $x(t) = v_0 t$.

2. Движение по вертикальной оси (Оy):
На частицу действует постоянная электрическая сила $F_y = qE$. Согласно второму закону Ньютона, частица приобретает постоянное вертикальное ускорение $a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{qE}{m}$. Так как начальная вертикальная скорость равна нулю, вертикальная составляющая скорости в момент времени $\text{t}$ равна $v_y(t) = a_y t = \frac{qE}{m} t$.

3. Время пролета конденсатора:
Частица вылетает из конденсатора, когда ее горизонтальная координата становится равной длине пластин $\text{l}$. Время пролета $t_{пол}$ найдем из уравнения для $x(t)$:
$l = v_0 t_{пол} \implies t_{пол} = \frac{l}{v_0}$.

4. Компоненты скорости при вылете:
В момент вылета ($t = t_{пол}$) компоненты скорости частицы будут:
Горизонтальная: $v_x = v_0$.
Вертикальная: $v_y = a_y t_{пол} = \frac{qE}{m} \cdot \frac{l}{v_0} = \frac{qEl}{mv_0}$.

а) Запишите выражение для тангенса угла α между скоростью частицы и горизонталью в момент, когда частица вылетает из конденсатора.

Угол $\alpha$ между вектором полной скорости и горизонталью определяется отношением вертикальной и горизонтальной компонент скорости:
$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x}$.
Подставляем найденные выражения для компонент скорости:
$\tan(\alpha) = \frac{\frac{qEl}{mv_0}}{v_0} = \frac{qEl}{mv_0^2}$.

Ответ: $\tan(\alpha) = \frac{qEl}{mv_0^2}$.

б) Запишите выражение для модуля скорости частицы v в момент, когда она вылетает из конденсатора.

Модуль (величину) скорости $\text{v}$ в момент вылета найдем по теореме Пифагора, так как компоненты $v_x$ и $v_y$ взаимно перпендикулярны:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
Подставляем значения компонент:
$v = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{qEl}{mv_0}\right)^2} = \sqrt{v_0^2 + \frac{q^2E^2l^2}{m^2v_0^2}}$.

Ответ: $v = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{qEl}{mv_0}\right)^2}$.