Номер 18, страница 131, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 39. Электроёмкость. Энергия электрического поля - номер 18, страница 131.

Условие.

18. Точно посередине между вертикальными обкладками конденсатора в начальный момент удерживают в покое шарик с зарядом $\text{q}$ и массой $\text{m}$ (рис. 39.4). Напряжение между обкладками $\text{U}$, а расстояние между ними $\text{d}$. Шарик отпускают, и через некоторый промежуток времени он сталкивается с одной из обкладок.

а) По какой траектории движется шарик до столкновения с обкладкой?

б) Запишите выражение для проекции ускорения шарика на показанную на рисунке ось $\text{x}$.

в) Запишите выражение для модуля ускорения шарика.

г) Запишите выражение для времени $\text{t}$ движения шарика до столкновения с обкладкой.

Решение 2.

Дано:

Заряд шарика: $\text{q}$
Масса шарика: $\text{m}$
Напряжение между обкладками: $\text{U}$
Расстояние между обкладками: $\text{d}$
Начальная скорость: $v_0 = 0$

Найти:

а) траекторию движения шарика;
б) проекцию ускорения шарика на ось $\text{x}$, $a_x$;
в) модуль ускорения шарика, $\text{a}$;
г) время движения шарика до столкновения, $\text{t}$.

Решение:

После того как шарик отпускают, на него действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз (вдоль оси $\text{y}$), и электрическая сила $\vec{F_э}$ со стороны однородного поля конденсатора, направленная горизонтально (вдоль оси $\text{x}$, от положительно заряженной обкладки к отрицательно заряженной, так как заряд шарика $q>0$).

Сила тяжести: $F_g = mg$.
Электрическая сила: $F_э = qE$, где $\text{E}$ – напряженность электрического поля.

Так как обе силы постоянны по величине и направлению, их равнодействующая $\vec{F} = \vec{F_g} + \vec{F_э}$ также является постоянным вектором. Согласно второму закону Ньютона, $\vec{F} = m\vec{a}$, ускорение шарика $\vec{a}$ также постоянно по модулю и направлению.

а) По какой траектории движется шарик до столкновения с обкладкой?

Поскольку шарик начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) под действием постоянной по величине и направлению силы, его движение будет прямолинейным и равноускоренным. Траектория движения — это прямая линия, направленная вдоль вектора равнодействующей силы $\vec{F}$.

Ответ: Траектория движения шарика до столкновения — прямая линия.

б) Запишите выражение для проекции ускорения шарика на показанную на рисунке ось $\text{x}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $\text{x}$:

$ma_x = F_{эx}$

Проекция электрической силы на ось $\text{x}$ равна модулю этой силы, так как ее направление совпадает с направлением оси $\text{x}$. $F_{эx} = F_э = qE$. Напряженность однородного электрического поля в плоском конденсаторе выражается через напряжение $\text{U}$ и расстояние $\text{d}$ между обкладками как $E = \frac{U}{d}$.

Следовательно, $F_{эx} = q\frac{U}{d}$.

Подставляем в уравнение второго закона Ньютона:

$ma_x = q\frac{U}{d}$

Отсюда выражаем проекцию ускорения на ось $\text{x}$:

$a_x = \frac{qU}{md}$

Ответ: $a_x = \frac{qU}{md}$

в) Запишите выражение для модуля ускорения шарика.

Для нахождения модуля полного ускорения необходимо найти его проекцию на ось $\text{y}$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $\text{y}$:

$ma_y = F_{gy}$

Проекция силы тяжести на ось $\text{y}$ равна модулю этой силы, так как ее направление совпадает с направлением оси $\text{y}$. $F_{gy} = F_g = mg$.

$ma_y = mg \implies a_y = g$

Модуль полного ускорения $\text{a}$ найдем по теореме Пифагора, зная его проекции $a_x$ и $a_y$:

$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{\left(\frac{qU}{md}\right)^2 + g^2}$

Ответ: $a = \sqrt{\left(\frac{qU}{md}\right)^2 + g^2}$

г) Запишите выражение для времени $\text{t}$ движения шарика до столкновения с обкладкой.

Столкновение произойдет с отрицательно заряженной обкладкой. Шарик начинает движение из положения $x_0 = 0$ (точно посередине). Обкладка находится на расстоянии $\frac{d}{2}$ от начального положения шарика в направлении оси $\text{x}$. Рассмотрим движение вдоль оси $\text{x}$. Это равноускоренное движение без начальной скорости ($v_{0x}=0$).

Запишем уравнение для координаты $\text{x}$:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Подставляя $x_0 = 0$ и $v_{0x} = 0$, получаем:

$x(t) = \frac{a_x t^2}{2}$

В момент столкновения $\text{t}$ координата шарика будет $x(t) = \frac{d}{2}$. Подставим это значение и выражение для $a_x$ из пункта б):

$\frac{d}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{qU}{md}\right) t^2$

Сокращаем $\frac{1}{2}$ и выражаем $t^2$:

$d = \frac{qU}{md} t^2 \implies t^2 = \frac{md^2}{qU}$

Извлекаем квадратный корень для нахождения времени $\text{t}$:

$t = \sqrt{\frac{md^2}{qU}} = d\sqrt{\frac{m}{qU}}$

Ответ: $t = d\sqrt{\frac{m}{qU}}$