Номер 3, страница 187 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 31. Работа силы. Мощность. Глава 4. Законы сохранения в механике. Механика - номер 3, страница 187.

Условие.

3. Брусок массой $m$ соскальзывает с наклонной плоскости высотой $H$. Угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен $\mu$. Определите проекции на направление движения бруска: а) силы тяжести; б) силы реакции опоры; в) силы трения. Определите работу каждой из этих сил и суммы этих сил за время соскальзывания бруска.

Решение.

Дано:

Масса бруска: $m$

Высота наклонной плоскости: $H$

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Коэффициент трения: $\mu$

Все величины представлены в общем виде, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Проекции на направление движения: $F_{тяж_x}$, $N_x$, $F_{тр_x}$.

Работу каждой из сил и их суммы: $A_{тяж}$, $A_N$, $A_{тр}$, $A_{сумм}$.

Решение:

Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз (по направлению движения бруска), а ось $Oy$ — перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

На брусок действуют три силы: сила тяжести $ \vec{F}_{тяж} = m\vec{g} $, сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $ и сила трения скольжения $ \vec{F}_{тр} $.

а) силы тяжести

Сила тяжести $ \vec{F}_{тяж} $ направлена вертикально вниз. Угол между вектором силы тяжести и осью $Oy$ (перпендикулярной плоскости) равен углу наклона плоскости $\alpha$. Проекция силы тяжести на ось $Ox$ (направление движения) является катетом, противолежащим углу $\alpha$ в прямоугольном треугольнике, образованном вектором силы тяжести и его проекциями. Эта проекция направлена в ту же сторону, что и ось $Ox$, поэтому она положительна.

$F_{тяж_x} = mg \sin(\alpha)$

Ответ: Проекция силы тяжести на направление движения равна $mg \sin(\alpha)$.

б) силы реакции опоры

Сила реакции опоры $ \vec{N} $ по определению перпендикулярна поверхности, то есть направлена вдоль оси $Oy$. Направление движения совпадает с осью $Ox$. Так как оси $Ox$ и $Oy$ взаимно перпендикулярны, проекция силы реакции опоры на направление движения равна нулю.

$N_x = 0$

Ответ: Проекция силы реакции опоры на направление движения равна $0$.

в) силы трения

Сила трения скольжения $ \vec{F}_{тр} $ направлена против движения, то есть против оси $Ox$. Ее проекция на ось $Ox$ будет отрицательной и равной по модулю самой силе трения. Модуль силы трения скольжения равен $F_{тр} = \mu N$. Чтобы найти $N$, запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $Oy$. Так как в этом направлении движения нет, ускорение равно нулю:

$N - mg \cos(\alpha) = 0 \implies N = mg \cos(\alpha)$

Тогда модуль силы трения:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Проекция силы трения на направление движения (ось $Ox$):

$F_{тр_x} = -F_{тр} = -\mu mg \cos(\alpha)$

Ответ: Проекция силы трения на направление движения равна $-\mu mg \cos(\alpha)$.

Теперь определим работу каждой из сил. Работа $A$ силы $F$ при перемещении $s$ вычисляется по формуле $A = F_x \cdot s$, где $F_x$ — проекция силы на направление перемещения. Длина пути $s$, который проходит брусок, равна длине наклонной плоскости. Из геометрии прямоугольного треугольника, где высота $H$ является противолежащим катетом углу $\alpha$, а длина $s$ — гипотенузой, находим:

$\sin(\alpha) = \frac{H}{s} \implies s = \frac{H}{\sin(\alpha)}$

Работа силы тяжести:

$A_{тяж} = F_{тяж_x} \cdot s = (mg \sin(\alpha)) \cdot \left(\frac{H}{\sin(\alpha)}\right) = mgH$

Ответ: Работа силы тяжести равна $mgH$.

Работа силы реакции опоры:

$A_N = N_x \cdot s = 0 \cdot s = 0$

Ответ: Работа силы реакции опоры равна $0$.

Работа силы трения:

$A_{тр} = F_{тр_x} \cdot s = (-\mu mg \cos(\alpha)) \cdot \left(\frac{H}{\sin(\alpha)}\right) = -\mu mgH \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\mu mgH \cot(\alpha)$

Ответ: Работа силы трения равна $-\mu mgH \cot(\alpha)$.

Работа суммы этих сил (полная работа) равна сумме работ каждой из сил:

$A_{сумм} = A_{тяж} + A_N + A_{тр} = mgH + 0 - \mu mgH \cot(\alpha) = mgH(1 - \mu \cot(\alpha))$

Ответ: Работа суммы сил равна $mgH(1 - \mu \cot(\alpha))$.