Номер 1, страница 438 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Задания к главе 1 «Кинематика». Задания по проектной и исследовательской деятельности. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 1, страница 438.

Условие.

Задания к главе 1 «Кинематика»

1. В произвольном случае формула расчёта модуля скорости, полученной при сложении двух скоростей, согласно теореме косинусов, имеет вид: $v^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 \cdot v_2 \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ – угол между векторами скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$. Проведите анализ этого выражения. Рассмотрите частные случаи: а) скорости параллельны; б) скорости перпендикулярны. Проанализируйте изменение модуля суммарной скорости при изменении угла $\alpha$.

Решение.

Решение

Общая формула для модуля результирующей скорости $\vec{v}$, полученной при сложении двух скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, согласно теореме косинусов, имеет вид: $v^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos\alpha$. Здесь $v$, $v_1$ и $v_2$ — модули соответствующих векторов, а $\alpha$ — угол между векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$. Соответственно, модуль результирующей скорости равен $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos\alpha}$. Проведем анализ этого выражения для частных случаев и в общем виде.

а) скорости параллельны;
Если векторы скоростей параллельны, то они могут быть либо сонаправлены, либо направлены в противоположные стороны.
1. Векторы сонаправлены. Угол между ними $\alpha = 0^\circ$, и $\cos(0^\circ) = 1$. Подставим в формулу:
$v^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cdot 1 = (v_1 + v_2)^2$.
Отсюда модуль результирующей скорости: $v = v_1 + v_2$. Это максимальное возможное значение.
2. Векторы направлены в противоположные стороны. Угол между ними $\alpha = 180^\circ$, и $\cos(180^\circ) = -1$. Подставим в формулу:
$v^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cdot (-1) = v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2 = (v_1 - v_2)^2$.
Отсюда модуль результирующей скорости: $v = |v_1 - v_2|$. Это минимальное возможное значение.
Ответ: При параллельных сонаправленных скоростях модуль результирующей скорости равен сумме модулей $v = v_1 + v_2$. При параллельных противоположно направленных скоростях модуль результирующей скорости равен модулю разности модулей $v = |v_1 - v_2|$.

б) скорости перпендикулярны.
Если векторы скоростей перпендикулярны, угол между ними составляет $\alpha = 90^\circ$, и $\cos(90^\circ) = 0$. Подставим это значение в общую формулу:
$v^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cdot 0 = v_1^2 + v_2^2$.
Это соответствует теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются модули скоростей $v_1$ и $v_2$, а гипотенузой — модуль результирующей скорости $v$.
Таким образом, $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.
Ответ: При перпендикулярных скоростях $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

Анализ изменения модуля суммарной скорости при изменении угла $\alpha$.
Выражение для модуля результирующей скорости $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2 \cos\alpha}$ показывает, что при постоянных модулях $v_1$ и $v_2$, величина $v$ зависит только от угла $\alpha$ через функцию $\cos\alpha$.
Угол между векторами $\alpha$ изменяется в диапазоне $[0^\circ, 180^\circ]$. В этом интервале функция $\cos\alpha$ является монотонно убывающей: она принимает максимальное значение $1$ при $\alpha = 0^\circ$ и минимальное значение $-1$ при $\alpha = 180^\circ$.
Так как $v$ является возрастающей функцией от $\cos\alpha$ (подкоренное выражение линейно зависит от $\cos\alpha$ с положительным коэффициентом $2v_1v_2$), то $v$ также монотонно убывает при возрастании $\alpha$ от $0^\circ$ до $180^\circ$.
Следовательно:
- Максимальное значение модуля скорости $v_{max} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1 v_2} = v_1 + v_2$ достигается при $\alpha = 0^\circ$.
- Минимальное значение модуля скорости $v_{min} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1 v_2} = |v_1 - v_2|$ достигается при $\alpha = 180^\circ$.
Для любого промежуточного угла значение модуля суммарной скорости будет лежать между этими двумя крайними значениями: $|v_1 - v_2| \le v \le v_1 + v_2$.
Ответ: При увеличении угла $\alpha$ между векторами скоростей от $0^\circ$ до $180^\circ$ модуль их суммарной скорости монотонно уменьшается от максимального значения $v_1 + v_2$ до минимального значения $|v_1 - v_2|$.