Номер 2, страница 438 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Электродинамика. Глава 10. Электростатика. Задания по проектной и исследовательской деятельности. Задания к главе 1 «Кинематика» - номер 2, страница 438.

Условие.

2. Выберите прямолинейный участок дороги и измерьте его длину. Прокатитесь по очереди на велосипеде по этому участку, измеряя каждый раз время движения. Оцените среднюю скорость движения каждого из учеников. Проведите все необходимые измерения для того, чтобы определить в каждом случае среднюю частоту вращения: а) колеса велосипеда; б) ведомой звёздочки; в) ведущей звёздочки. Сравните полученные результаты. Используя полученные результаты, определите центростремительное ускорение точек: а) обода колеса велосипеда; б) внешней границы ведомой звёздочки; в) внешней границы ведущей звёздочки. Оцените погрешности измерений.

Решение.

Поскольку данная задача представляет собой практическое задание, для ее решения необходимо провести измерения. Мы выполним расчеты, используя примерные, но реалистичные данные для горного велосипеда и движения человека в среднем темпе.

Дано:

Длина прямолинейного участка дороги: $S = 100$ м
Время движения по участку: $t = 20$ с
Радиус колеса велосипеда (26 дюймов): $R_{колеса} \approx 33$ см
Число зубьев на ведущей (передней) звездочке: $N_{ведущей} = 42$
Число зубьев на ведомой (задней) звездочке: $N_{ведомой} = 14$
Радиус ведущей звездочки: $r_{ведущей} \approx 8.5$ см
Радиус ведомой звездочки: $r_{ведомой} \approx 2.8$ см

Перевод в систему СИ:

$R_{колеса} = 0.33$ м
$r_{ведущей} = 0.085$ м
$r_{ведомой} = 0.028$ м

Найти:

Среднюю скорость движения $v_{ср}$.
Среднюю частоту вращения: $f_{колеса}$, $f_{ведомой}$, $f_{ведущей}$.
Центростремительное ускорение точек: $a_{ц.колеса}$, $a_{ц.ведомой}$, $a_{ц.ведущей}$.

Решение:

Сначала оценим среднюю скорость движения ученика на велосипеде. Средняя скорость при равномерном прямолинейном движении вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S}{t}$

$v_{ср} = \frac{100 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 5$ м/с

Теперь определим среднюю частоту вращения для каждого элемента.

а) колеса велосипеда;

Линейная скорость движения велосипеда $v_{ср}$ связана с угловой скоростью вращения колеса $\omega_{колеса}$ и его радиусом $R_{колеса}$ соотношением $v_{ср} = \omega_{колеса} \cdot R_{колеса}$. Частота вращения $f$ связана с угловой скоростью как $\omega = 2\pi f$.
Отсюда, $v_{ср} = 2\pi f_{колеса} \cdot R_{колеса}$.
Выразим частоту вращения колеса:

$f_{колеса} = \frac{v_{ср}}{2\pi R_{колеса}}$

$f_{колеса} = \frac{5 \text{ м/с}}{2\pi \cdot 0.33 \text{ м}} \approx \frac{5}{2.073} \approx 2.41$ Гц

Ответ: Средняя частота вращения колеса составляет примерно $2.41$ Гц.

б) ведомой звёздочки;

Ведомая (задняя) звёздочка жестко связана с задним колесом велосипеда, поэтому они вращаются как единое целое. Следовательно, их угловые скорости и частоты вращения равны.

$f_{ведомой} = f_{колеса} \approx 2.41$ Гц

Ответ: Средняя частота вращения ведомой звёздочки составляет примерно $2.41$ Гц.

в) ведущей звёздочки.

Ведущая (передняя) и ведомая (задняя) звёздочки соединены цепью. Линейная скорость движения цепи одинакова для обеих звёздочек. Соотношение их частот вращения обратно пропорционально соотношению чисел зубьев на них:

$\frac{f_{ведущей}}{f_{ведомой}} = \frac{N_{ведомой}}{N_{ведущей}}$

Выразим частоту вращения ведущей звёздочки (частоту вращения педалей):

$f_{ведущей} = f_{ведомой} \cdot \frac{N_{ведомой}}{N_{ведущей}}$

$f_{ведущей} = 2.41 \text{ Гц} \cdot \frac{14}{42} = 2.41 \cdot \frac{1}{3} \approx 0.80$ Гц

Ответ: Средняя частота вращения ведущей звёздочки составляет примерно $0.80$ Гц.

Сравнение результатов: Частота вращения колеса и ведомой звёздочки одинаковы ($f_{колеса} = f_{ведомой}$). Частота вращения ведущей звёздочки (педалей) в 3 раза меньше, чем частота вращения колеса, что определяется передаточным отношением выбранных звёздочек ($42/14=3$).

Теперь, используя полученные результаты, определим центростремительное ускорение.

Формула для центростремительного ускорения точки на вращающемся теле: $a_ц = \omega^2 R = (2\pi f)^2 R = 4\pi^2 f^2 R$.

а) обода колеса велосипеда;

$a_{ц.колеса} = 4\pi^2 f_{колеса}^2 R_{колеса}$

$a_{ц.колеса} = 4\pi^2 \cdot (2.41 \text{ Гц})^2 \cdot 0.33 \text{ м} \approx 4 \cdot 9.87 \cdot 5.81 \cdot 0.33 \approx 75.7$ м/с²

Ответ: Центростремительное ускорение точек обода колеса составляет примерно $75.7$ м/с².

б) внешней границы ведомой звёздочки;

$a_{ц.ведомой} = 4\pi^2 f_{ведомой}^2 r_{ведомой}$

$a_{ц.ведомой} = 4\pi^2 \cdot (2.41 \text{ Гц})^2 \cdot 0.028 \text{ м} \approx 4 \cdot 9.87 \cdot 5.81 \cdot 0.028 \approx 6.4$ м/с²

Ответ: Центростремительное ускорение точек на внешней границе ведомой звёздочки составляет примерно $6.4$ м/с².

в) внешней границы ведущей звёздочки.

$a_{ц.ведущей} = 4\pi^2 f_{ведущей}^2 r_{ведущей}$

$a_{ц.ведущей} = 4\pi^2 \cdot (0.80 \text{ Гц})^2 \cdot 0.085 \text{ м} \approx 4 \cdot 9.87 \cdot 0.64 \cdot 0.085 \approx 2.15$ м/с²

Ответ: Центростремительное ускорение точек на внешней границе ведущей звёздочки составляет примерно $2.15$ м/с².

Оценка погрешностей измерений.

Основными источниками погрешностей в данном эксперименте являются: 1. Измерение длины участка $S$ рулеткой. Погрешность может составлять несколько сантиметров ($\Delta S \approx 0.1$ м). 2. Измерение времени $t$ секундомером. Погрешность определяется реакцией человека и составляет около $\Delta t \approx 0.2$ с. 3. Измерение радиусов $R, r$ линейкой. Погрешность может составлять несколько миллиметров ($\Delta R \approx 0.005$ м). 4. Неравномерность движения. Скорость велосипеда может колебаться во время движения по участку. 5. Отклонение от прямолинейной траектории.

Наибольшую относительную погрешность в итоговый результат, как правило, вносит измерение времени, особенно на коротких участках. Например, относительная погрешность измерения скорости $\frac{\Delta v}{v} = \frac{\Delta S}{S} + \frac{\Delta t}{t} = \frac{0.1}{100} + \frac{0.2}{20} = 0.001 + 0.01 = 0.011$, или 1.1%. Погрешности в определении частот и ускорений будут зависеть от погрешностей скорости и радиусов.