Номер 7, страница 435 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Электродинамика. Глава 10. Электростатика. Параграф 77. Параллельное и последовательное соединения конденсаторов. Упражнения - номер 7, страница 435.

Условие.

*7. Ёмкость батареи конденсаторов, схема которой показана на рис. 302, не изменяется при замыкании ключа $K$. Определите неизвестную ёмкость $C_x$, если $C = 3,0$ нФ.

Рис. 302

Решение.

Дано:

Емкость конденсатора $C = 3,0$ нФ.

Общая емкость батареи конденсаторов $C_{общ}$ не изменяется при замыкании ключа K.

Перевод в систему СИ:

$C = 3,0 \times 10^{-9}$ Ф.

Найти:

$C_x$ — неизвестную емкость.

Решение:

Представленная схема является мостовой схемой (мост Уитстона для конденсаторов). Условие, что общая емкость батареи не изменяется при замыкании ключа K, выполняется в том случае, если мост сбалансирован. Для сбалансированного моста потенциалы в точках, которые соединяет ключ, равны. Это означает, что при замыкании ключа ток через него не течет, и, следовательно, общая емкость цепи остается неизменной.

Условие баланса для моста, состоящего из конденсаторов, записывается как равенство отношений емкостей в плечах моста:

$\frac{C_{1}}{C_{3}} = \frac{C_{2}}{C_{4}}$

В данной схеме плечи моста соответствуют следующим емкостям:

$C_1 = C$ (верхний левый конденсатор)

$C_2 = 3C$ (верхний правый конденсатор)

$C_3 = C_x$ (нижний левый конденсатор)

$C_4 = C$ (нижний правый конденсатор)

Подставим эти значения в условие баланса моста:

$\frac{C}{C_x} = \frac{3C}{C}$

Сократим $C$ в правой части уравнения:

$\frac{C}{C_x} = 3$

Из этого соотношения выражаем искомую емкость $C_x$:

$C_x = \frac{C}{3}$

Для подтверждения правильности этого подхода можно решить задачу прямым вычислением, приравняв общие емкости схемы при разомкнутом и замкнутом ключе.

1. Когда ключ K разомкнут, общая емкость $C_{общ1}$ равна сумме емкостей двух параллельных ветвей (каждая из которых - последовательное соединение):

$C_{общ1} = \left(\frac{1}{C} + \frac{1}{3C}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{C_x} + \frac{1}{C}\right)^{-1} = \frac{3C}{4} + \frac{C \cdot C_x}{C + C_x}$

2. Когда ключ K замкнут, схема преобразуется в последовательное соединение двух групп параллельно соединенных конденсаторов. Общая емкость $C_{общ2}$:

$C_{общ2} = \left(\frac{1}{C+C_x} + \frac{1}{3C+C}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{C+C_x} + \frac{1}{4C}\right)^{-1} = \frac{4C(C+C_x)}{5C+C_x}$

Согласно условию, $C_{общ1} = C_{общ2}$:

$\frac{3C}{4} + \frac{C C_x}{C + C_x} = \frac{4C(C+C_x)}{5C+C_x}$

Приводя левую часть к общему знаменателю: $\frac{3C(C+C_x)+4CC_x}{4(C+C_x)} = \frac{3C^2+7CC_x}{4(C+C_x)}$.

$\frac{3C^2+7CC_x}{4(C+C_x)} = \frac{4C(C+C_x)}{5C+C_x}$

$(3C^2+7CC_x)(5C+C_x) = 16C(C+C_x)^2$

$15C^3+3C^2C_x+35C^2C_x+7CC_x^2 = 16C(C^2+2CC_x+C_x^2)$

$15C^3+38C^2C_x+7CC_x^2 = 16C^3+32C^2C_x+16CC_x^2$

Перенося все члены в одну сторону, получаем: $C^3-6C^2C_x+9CC_x^2 = 0$.

Так как $C \neq 0$, можно разделить все уравнение на $C$: $C^2 - 6CC_x + 9C_x^2 = 0$.

Это выражение является полным квадратом: $(3C_x - C)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $3C_x - C = 0$, или $C_x = \frac{C}{3}$.

Оба метода приводят к одинаковому результату.

Теперь вычислим числовое значение $C_x$, подставив данное значение $C = 3,0$ нФ:

$C_x = \frac{3,0 \text{ нФ}}{3} = 1,0 \text{ нФ}$

Ответ: $C_x = 1,0 \text{ нФ}$.