Номер 5, страница 434 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 77. Параллельное и последовательное соединения конденсаторов. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 5, страница 434.

Условие.

5. Во что преобразуется электрическая энергия двух заряженных конденсаторов при их параллельном соединении? При каком условии суммарная электрическая энергия заряженных конденсаторов будет оставаться неизменной после их параллельного соединения?

Решение.

Во что преобразуется электрическая энергия двух заряженных конденсаторов при их параллельном соединении?

При параллельном соединении двух предварительно заряженных конденсаторов, имеющих разную разность потенциалов (напряжение), происходит перераспределение зарядов между ними. Этот процесс продолжается до тех пор, пока напряжение на обоих конденсаторах не станет одинаковым. Перераспределение зарядов представляет собой кратковременный электрический ток, протекающий по соединительным проводам.

Поскольку любые реальные соединительные провода обладают электрическим сопротивлением, протекание тока приводит к выделению тепла в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Таким образом, часть первоначальной электрической энергии, запасенной в конденсаторах, преобразуется во внутреннюю (тепловую) энергию проводов, нагревая их. Если разность потенциалов значительна, при соединении может возникнуть искра, что означает преобразование энергии также в световую и звуковую.

Ответ: Электрическая энергия конденсаторов преобразуется в тепловую энергию, выделяющуюся в соединительных проводах, а также, возможно, в энергию электромагнитного излучения (свет) и звуковую энергию при возникновении искры.

При каком условии суммарная электрическая энергия заряженных конденсаторов будет оставаться неизменной после их параллельного соединения?

Суммарная электрическая энергия системы из двух конденсаторов останется неизменной только в том случае, если при их соединении не происходит перераспределения зарядов, то есть не течет ток. Это возможно только при отсутствии разности потенциалов между соединяемыми обкладками. Чтобы доказать это математически, рассмотрим изменение энергии системы.

Решение

Пусть имеются два конденсатора с емкостями $C_1$ и $C_2$, заряженные до напряжений $U_1$ и $U_2$ соответственно. Их начальные заряды равны $q_1 = C_1 U_1$ и $q_2 = C_2 U_2$.

Суммарная энергия системы до соединения:
$W_{нач} = W_1 + W_2 = \frac{1}{2} C_1 U_1^2 + \frac{1}{2} C_2 U_2^2$

При параллельном соединении (положительной обкладки с положительной) общий заряд системы сохраняется:
$q_{общ} = q_1 + q_2 = C_1 U_1 + C_2 U_2$

Общая емкость батареи конденсаторов при параллельном соединении:
$C_{общ} = C_1 + C_2$

Напряжение на батарее после соединения:
$U_{кон} = \frac{q_{общ}}{C_{общ}} = \frac{C_1 U_1 + C_2 U_2}{C_1 + C_2}$

Суммарная энергия системы после соединения:
$W_{кон} = \frac{1}{2} C_{общ} U_{кон}^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) \left( \frac{C_1 U_1 + C_2 U_2}{C_1 + C_2} \right)^2 = \frac{(C_1 U_1 + C_2 U_2)^2}{2(C_1 + C_2)}$

Найдем изменение энергии системы $\Delta W = W_{кон} - W_{нач}$:
$\Delta W = \frac{(C_1 U_1 + C_2 U_2)^2}{2(C_1 + C_2)} - \frac{C_1 U_1^2 + C_2 U_2^2}{2}$
Приводя к общему знаменателю:
$\Delta W = \frac{(C_1 U_1 + C_2 U_2)^2 - (C_1 + C_2)(C_1 U_1^2 + C_2 U_2^2)}{2(C_1 + C_2)}$
Раскроем скобки в числителе:
$(C_1^2 U_1^2 + 2C_1 C_2 U_1 U_2 + C_2^2 U_2^2) - (C_1^2 U_1^2 + C_1 C_2 U_2^2 + C_2 C_1 U_1^2 + C_2^2 U_2^2)$
$= 2C_1 C_2 U_1 U_2 - C_1 C_2 U_1^2 - C_1 C_2 U_2^2 = -C_1 C_2 (U_1^2 - 2U_1 U_2 + U_2^2) = -C_1 C_2 (U_1 - U_2)^2$

Таким образом, потеря энергии равна:
$\Delta W = -\frac{C_1 C_2 (U_1 - U_2)^2}{2(C_1 + C_2)}$

Энергия системы остается неизменной, если ее изменение равно нулю: $\Delta W = 0$.
Поскольку емкости $C_1$ и $C_2$ всегда положительны, для выполнения этого условия необходимо, чтобы:
$(U_1 - U_2)^2 = 0$, что эквивалентно $U_1 = U_2$.

Ответ: Суммарная электрическая энергия заряженных конденсаторов будет оставаться неизменной после их параллельного соединения при условии, что их начальные напряжения (разности потенциалов) равны.