Номер 4, страница 434 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 77. Параллельное и последовательное соединения конденсаторов. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 4, страница 434.

Условие.

4. На основании каких законов можно получить формулу для расчёта ёмкости батареи, состоящей:

а) из параллельно соединённых конденсаторов;

б) из последовательно соединённых конденсаторов?

Решение.

а) из параллельно соединённых конденсаторов

Формула для расчёта общей ёмкости батареи, состоящей из параллельно соединённых конденсаторов, выводится на основании закона сохранения электрического заряда и свойства равенства напряжений для элементов, соединённых параллельно.

При параллельном соединении напряжение на каждом конденсаторе одинаково и равно общему напряжению батареи: $U_{общ} = U_1 = U_2 = ... = U_n$. Это следует из того, что все конденсаторы подключены к одним и тем же двум точкам цепи.

Согласно закону сохранения заряда, общий заряд батареи $q_{общ}$ равен сумме зарядов на каждом из конденсаторов: $q_{общ} = q_1 + q_2 + ... + q_n$.

Используя определение ёмкости $C = q/U$, выразим заряд каждого конденсатора как $q_i = C_i \cdot U_i$ и общий заряд как $q_{общ} = C_{общ} \cdot U_{общ}$.

Подставим эти выражения в уравнение для зарядов:
$C_{общ} \cdot U_{общ} = C_1 \cdot U_1 + C_2 \cdot U_2 + ... + C_n \cdot U_n$
Учитывая, что все напряжения равны ($U_{общ} = U_1 = U_2 = ...$), получаем:
$C_{общ} \cdot U_{общ} = (C_1 + C_2 + ... + C_n) \cdot U_{общ}$
Сократив $U_{общ}$, приходим к формуле для общей ёмкости:
$C_{общ} = C_1 + C_2 + ... + C_n$

Ответ: Формула выводится на основании закона сохранения электрического заряда и свойства равенства напряжений на элементах при их параллельном соединении.

б) из последовательно соединённых конденсаторов

Формула для расчёта общей ёмкости батареи, состоящей из последовательно соединённых конденсаторов, выводится на основании закона сохранения электрического заряда и свойства аддитивности (сложения) напряжений для элементов, соединённых последовательно.

При последовательном соединении, вследствие закона сохранения заряда и явления электростатической индукции, заряд на каждом конденсаторе одинаков: $q_{общ} = q_1 = q_2 = ... = q_n$.

Общее напряжение на батарее равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов: $U_{общ} = U_1 + U_2 + ... + U_n$. Это является следствием аддитивности разности потенциалов.

Используя определение ёмкости $C = q/U$, выразим напряжение на каждом конденсаторе как $U_i = q_i / C_i$ и общее напряжение как $U_{общ} = q_{общ} / C_{общ}$.

Подставим эти выражения в уравнение для напряжений:
$\frac{q_{общ}}{C_{общ}} = \frac{q_1}{C_1} + \frac{q_2}{C_2} + ... + \frac{q_n}{C_n}$
Учитывая, что все заряды равны ($q_{общ} = q_1 = q_2 = ...$), получаем:
$\frac{q_{общ}}{C_{общ}} = q_{общ} \cdot (\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n})$
Сократив $q_{общ}$, приходим к формуле для общей ёмкости:
$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}$

Ответ: Формула выводится на основании закона сохранения электрического заряда (следствием которого является равенство зарядов на конденсаторах) и свойства сложения напряжений на элементах при их последовательном соединении.