Номер 5, страница 171 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13. Оптика. 13.5. Полное внутреннее отражение - номер 5, страница 171.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Показатель преломления воды относительно воздуха: $n_1 = 1,33$

Показатель преломления стекла относительно воздуха: $n_2 = 1,5$

Показатель преломления алмаза относительно воздуха: $n_3 = 2,42$

Показатель преломления воздуха: $n_{возд} \approx 1$

Найти:

В каком из веществ предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$ при выходе в воздух имеет минимальное значение.

Решение:

Явление полного внутреннего отражения наблюдается при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную. Предельный угол полного внутреннего отражения ($\alpha_{пр}$) — это угол падения, при котором угол преломления равен $90^\circ$.

Связь между предельным углом и показателями преломления двух сред описывается законом Снеллиуса:

$n_{вещества} \cdot \sin(\alpha_{пр}) = n_{возд} \cdot \sin(90^\circ)$

Где $n_{вещества}$ — показатель преломления вещества (воды, стекла или алмаза), а $n_{возд}$ — показатель преломления воздуха. Поскольку $\sin(90^\circ) = 1$ и $n_{возд} \approx 1$, формула упрощается до:

$n_{вещества} \cdot \sin(\alpha_{пр}) = 1$

Отсюда можно выразить синус предельного угла:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{n_{вещества}}$

Из этой формулы видно, что синус предельного угла обратно пропорционален показателю преломления вещества. Для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция синуса является возрастающей, то есть меньшему значению синуса соответствует меньший угол. Следовательно, чем больше показатель преломления вещества $n_{вещества}$, тем меньше будет предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$.

Сравним данные показатели преломления:

$n_{воды} = 1,33$

$n_{стекла} = 1,5$

$n_{алмаза} = 2,42$

Наибольший показатель преломления имеет алмаз ($n_{алмаза} = 2,42$). Таким образом, именно в алмазе предельный угол полного внутреннего отражения при выходе в воздух будет иметь минимальное значение.

Для наглядности можно рассчитать значения предельных углов:

• Для воды: $\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{1,33} \approx 0,752 \Rightarrow \alpha_{пр} \approx 48,8^\circ$
• Для стекла: $\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{1,5} \approx 0,667 \Rightarrow \alpha_{пр} \approx 41,8^\circ$
• Для алмаза: $\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{2,42} \approx 0,413 \Rightarrow \alpha_{пр} \approx 24,4^\circ$

Расчеты подтверждают, что наименьший предельный угол у алмаза.

Ответ: предельный угол полного внутреннего отражения при выходе в воздух имеет минимальное значение в алмазе.