Номер 5, страница 129 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 24. Механическая энергия. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии. Задания и упражнения - номер 5, страница 129.

Условие.

5. Две одинаковые тележки массами $\text{m}$ движутся по гладкой горизонтальной поверхности с одинаковыми по модулю скоростями $v = v_1 = v_2$ (рис. 94) в инерциальной системе отсчёта. В результате соударения они останавливаются. Покажите, что изменение кинетической энергии тележек в результате соударения в системе отсчёта, связанной с Землёй, и в системе отсчёта, связанной с одной из тележек, равно $\Delta E_K = -mv^2$.

Рис. 94

Решение.

Дано:

Масса первой тележки: $m_1 = m$

Масса второй тележки: $m_2 = m$

Модули скоростей до столкновения: $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$

Скорости после столкновения: $\vec{v}'_1 = \vec{v}'_2 = 0$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

$\Delta E_{\text{к}}$ - изменение кинетической энергии системы тележек в двух системах отсчёта.

Решение:

В системе отсчёта, связанной с Землёй

Будем считать эту систему отсчёта инерциальной. Выберем ось $OX$, направленную вдоль движения первой тележки. Тогда скорости тележек до столкновения в проекциях на эту ось будут равны $v_{1x} = v$ и $v_{2x} = -v$.

Начальная кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий двух тележек:

$E_{\text{к, нач}} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = mv^2$

После соударения тележки останавливаются, их скорости становятся равными нулю. Конечная кинетическая энергия системы:

$E_{\text{к, кон}} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 (v'_2)^2}{2} = \frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{m \cdot 0^2}{2} = 0$

Изменение кинетической энергии системы в результате соударения:

$\Delta E_{\text{к}} = E_{\text{к, кон}} - E_{\text{к, нач}} = 0 - mv^2 = -mv^2$

Ответ: Изменение кинетической энергии в системе отсчёта, связанной с Землёй, равно $-mv^2$.

В системе отсчёта, связанной с одной из тележек

Рассмотрим систему отсчёта, связанную с первой тележкой. Эта система отсчёта является инерциальной, так как до столкновения тележка движется равномерно и прямолинейно. Она движется относительно Земли со скоростью $\vec{V} = \vec{v}_1$.

Найдём начальные скорости тележек в этой системе отсчёта ($\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$) по закону сложения скоростей.

Скорость первой тележки относительно самой себя равна нулю:

$\vec{u}_1 = \vec{v}_1 - \vec{V} = \vec{v}_1 - \vec{v}_1 = 0$

Скорость второй тележки относительно первой:

$\vec{u}_2 = \vec{v}_2 - \vec{V} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$

Поскольку векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ направлены в противоположные стороны и их модули равны $\text{v}$, модуль скорости $\vec{u}_2$ будет равен $u_2 = |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| = v - (-v) = 2v$.

Начальная кинетическая энергия системы в этой системе отсчёта:

$E'_{\text{к, нач}} = \frac{m u_1^2}{2} + \frac{m u_2^2}{2} = \frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{m (2v)^2}{2} = \frac{4mv^2}{2} = 2mv^2$

После столкновения обе тележки останавливаются в системе отсчёта, связанной с Землёй ($\vec{v}'_1 = \vec{v}'_2 = 0$). Найдём их конечные скорости в системе отсчёта, связанной с первой тележкой. Эта система отсчёта продолжает по инерции двигаться со своей начальной скоростью $\vec{V} = \vec{v}_1$.

$\vec{u}'_1 = \vec{v}'_1 - \vec{V} = 0 - \vec{v}_1 = -\vec{v}_1$

$\vec{u}'_2 = \vec{v}'_2 - \vec{V} = 0 - \vec{v}_1 = -\vec{v}_1$

Модули конечных скоростей обеих тележек в этой системе отсчёта равны $\text{v}$.

Конечная кинетическая энергия системы:

$E'_{\text{к, кон}} = \frac{m (u'_1)^2}{2} + \frac{m (u'_2)^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = mv^2$

Изменение кинетической энергии системы в этой системе отсчёта:

$\Delta E'_{\text{к}} = E'_{\text{к, кон}} - E'_{\text{к, нач}} = mv^2 - 2mv^2 = -mv^2$

Ответ: Изменение кинетической энергии в системе отсчёта, связанной с одной из тележек, равно $-mv^2$.

Таким образом, в обеих рассмотренных инерциальных системах отсчёта изменение кинетической энергии тележек в результате соударения одинаково и равно $\Delta E_{\text{к}} = -mv^2$, что и требовалось доказать.