Теоретическое исследование, страница 133 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 25. Потенциальная энергия. Теорема о потенциальной энергии. Вопросы - страница 133.

Условие.

Теоретическое исследование

Потенциальная энергия тел (материальных точек), взаимодействующих силами тяготения, определяется формулой:

$E = -G \frac{Mm}{r}$ (1)

Для её вывода обратимся к рис. 99. На нём изображено тело массой $\text{m}$, находящееся на значительном расстоянии от поверхности Земли в точке 1. Масса Земли и её радиус соответственно равны $\text{M}$ и $\text{R}$. Работа, совершаемая постоянной силой тяжести $\vec{F}_T$ при перемещении тела из точки 1, находящейся на расстоянии $\text{r}$ от центра масс $\text{O}$ Земли, в точку 2, равна:

$A = -(E_{п2} - E_{п1})$

Подставив в эту формулу выражение (1), получим:

$A = GmM \left( -\frac{1}{r} + \frac{1}{r-H} \right) = \frac{GmM}{r(r-H)} H.$

Рис. 99

Проведите самостоятельно дальнейшие преобразования. По результатам исследования сделайте выводы.

Решение.

Решение

В задаче дана формула для работы $\text{A}$, совершаемой силой тяжести при перемещении тела массы $\text{m}$ из точки 1, находящейся на расстоянии $\text{r}$ от центра Земли (массой $\text{M}$), в точку 2, находящуюся на расстоянии $r-H$ от центра Земли:

$A = \frac{GmMH}{r(r-H)}$

Требуется провести дальнейшие преобразования и сделать выводы. Рассмотрим случай, когда перемещение тела происходит вблизи поверхности Земли. Это означает, что высота перемещения $\text{H}$ значительно меньше расстояния до центра Земли $\text{r}$, которое, в свою очередь, примерно равно радиусу Земли $\text{R}$.

Математически эти условия можно записать как $H \ll r$ и $r \approx R$.

Поскольку $\text{H}$ очень мало по сравнению с $\text{r}$, мы можем пренебречь $\text{H}$ в множителе $(r-H)$ в знаменателе. Таким образом, мы можем сделать следующее приближение:

$r-H \approx r$

Тогда знаменатель выражения для работы упрощается:

$r(r-H) \approx r \cdot r = r^2$

Так как движение происходит вблизи поверхности Земли, можно считать расстояние $\text{r}$ равным радиусу Земли $\text{R}$:

$r \approx R$

Подставим это приближение в знаменатель:

$r(r-H) \approx R^2$

Теперь формула для работы $\text{A}$ принимает вид:

$A \approx \frac{GmMH}{R^2}$

Сгруппируем множители в этом выражении следующим образом:

$A \approx \left(\frac{GM}{R^2}\right)mH$

Из закона всемирного тяготения известно, что сила, с которой Земля притягивает тело массы $\text{m}$ на своей поверхности, равна $F = G\frac{Mm}{R^2}$. Согласно второму закону Ньютона, эта же сила равна $F = mg$, где $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Приравнивая эти два выражения, получаем формулу для $\text{g}$:

$g = \frac{GM}{R^2}$

Подставляя $\text{g}$ в наше выражение для работы, получаем хорошо известную формулу:

$A \approx mgH$

Выводы:

1. Проведенные преобразования показывают, что общая формула для работы силы тяготения в поле планеты сводится к простой и широко используемой формуле $A = mgH$ при условии, что перемещение происходит на высоте, значительно меньшей радиуса планеты ($H \ll R$).

2. Формула потенциальной энергии тела, поднятого на высоту $\text{h}$ над поверхностью Земли, $E_п = mgh$ (при условии, что на поверхности $E_п = 0$), является приближением, следующим из более общей формулы гравитационной потенциальной энергии $E_п = -G\frac{Mm}{r}$. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком: $A = -(E_{п2} - E_{п1})$. Для приближенной формулы, работа при падении с высоты $\text{H}$ на нулевой уровень ($h_1=H, h_2=0$) равна $A = mgH - mg \cdot 0 = mgH$, что полностью соответствует полученному результату. Таким образом, данное исследование демонстрирует, как фундаментальный закон всемирного тяготения приводит к более простым формулам, применяемым в частных случаях.

Ответ:

В результате преобразований из общей формулы для работы силы тяготения $A = \frac{GmMH}{r(r-H)}$ для случая движения тела вблизи поверхности Земли ($H \ll R$) получена приближенная формула $A \approx mgH$, где $g = \frac{GM}{R^2}$ — ускорение свободного падения. Основной вывод исследования заключается в том, что формула потенциальной энергии $E_п = mgh$ является частным случаем (приближением) общей формулы гравитационной потенциальной энергии $E_п = -G\frac{Mm}{r}$, справедливым для высот, малых по сравнению с радиусом Земли.