Номер 4, страница 128 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 24. Механическая энергия. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии. Вопросы - номер 4, страница 128.

Условие.

4. На основе каких законов и формул доказывается теорема о кинетической энергии?

Решение.

Теорема о кинетической энергии устанавливает связь между работой, совершённой над телом, и изменением его кинетической энергии. Она гласит: изменение кинетической энергии тела (материальной точки) за некоторый промежуток времени равно работе, совершённой равнодействующей всех сил, действующих на тело, за этот же промежуток времени.

Математически теорема записывается в виде:

$A_{равн} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

где $A_{равн}$ — работа равнодействующей силы, $E_{k1}$ — начальная кинетическая энергия, а $E_{k2}$ — конечная кинетическая энергия.

Доказательство этой теоремы строится на основе следующих фундаментальных законов и определений.

Решение

Для доказательства теоремы рассмотрим движение материальной точки массой $\text{m}$ под действием постоянной равнодействующей силы $\text{F}$, направленной вдоль оси движения. Пусть за время движения скорость точки изменилась с $v_1$ до $v_2$, а перемещение составило $\text{s}$.

Доказательство опирается на следующие положения:

1. Второй закон Ньютона. Он связывает силу, массу и ускорение: равнодействующая сила, приложенная к телу, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой.

$F = m \cdot a$

2. Определение механической работы. Работа $\text{A}$, совершаемая постоянной силой $\text{F}$ при перемещении тела на расстояние $\text{s}$ в направлении действия силы, вычисляется по формуле:

$A = F \cdot s$

3. Кинематическая формула. Для прямолинейного равноускоренного движения (которое тело совершает под действием постоянной силы) существует формула, связывающая перемещение, начальную и конечную скорости, и ускорение, без учёта времени:

$s = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}$

Теперь проведём само доказательство, последовательно подставляя эти формулы друг в друга.

Начнём с формулы работы:

$A = F \cdot s$

Подставим в неё выражение для силы $\text{F}$ из второго закона Ньютона:

$A = (m \cdot a) \cdot s$

Теперь подставим в полученное выражение формулу для перемещения $\text{s}$ из кинематики:

$A = m \cdot a \cdot \left(\frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}\right)$

Ускорение $\text{a}$ в числителе и знаменателе сокращается:

$A = m \cdot \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

$A = \frac{m v_2^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2}$

4. Определение кинетической энергии. Вспомним, что кинетическая энергия тела $E_k$ определяется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Тогда полученное выражение представляет собой разность конечной и начальной кинетических энергий:

$A = E_{k2} - E_{k1} = \Delta E_k$

Таким образом, мы доказали, что работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии.

Ответ: Теорема о кинетической энергии доказывается на основе второго закона Ньютона ($F=ma$), формулы для вычисления работы постоянной силы ($A=F \cdot s$), кинематической формулы для перемещения при равноускоренном движении ($s = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}$) и определения кинетической энергии ($E_k = \frac{mv^2}{2}$).