Номер 6, страница 214 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Молекулярная физика. Глава 8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 38. Температура и средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул. Задания и упражнения - номер 6, страница 214.

Условие.

* 6. В баллоне ёмкостью 3 $м^3$ под давлением 100 кПа находится кислород массой 2 кг. Определите среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул кислорода, считая его идеальным газом.

Решение.

Дано:

Емкость (объем) баллона $V = 3 \text{ м}^3$
Давление кислорода $P = 100 \text{ кПа}$
Масса кислорода $m = 2 \text{ кг}$
Газ – кислород (O₂)

Перевод в систему СИ:

$P = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Среднюю квадратичную скорость $v_{ск}$ — ?
Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул $\bar{E}_k$ — ?

Решение:

Для решения задачи потребуются справочные данные:
Молярная масса кислорода (O₂) $M \approx 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}$
Постоянная Больцмана $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

Средняя квадратичная скорость

Давление идеального газа связано со средней квадратичной скоростью его молекул $v_{ск}$ и плотностью $\rho$ соотношением из основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

$P = \frac{1}{3} \rho v_{ск}^2$

Плотность газа $\rho$ — это отношение его массы $\text{m}$ к объему $\text{V}$, то есть $\rho = \frac{m}{V}$.

Подставив выражение для плотности в формулу для давления, получим:

$P = \frac{1}{3} \frac{m}{V} v_{ск}^2$

Из этой формулы выразим среднюю квадратичную скорость:

$v_{ск} = \sqrt{\frac{3PV}{m}}$

Теперь подставим данные из условия задачи в полученную формулу:

$v_{ск} = \sqrt{\frac{3 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 3 \text{ м}^3}{2 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^5}{2} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{кг}}} = \sqrt{4.5 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \approx 670.8 \text{ м/с}$

Ответ: $v_{ск} \approx 671 \text{ м/с}$.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул кислорода

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре газа $\text{T}$:

$\bar{E}_k = \frac{3}{2} k T$

где $\text{k}$ — постоянная Больцмана. Для расчета нам необходимо найти температуру $\text{T}$ кислорода в баллоне. Используем для этого уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$PV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{M}$ — молярная масса кислорода, а $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная. Выразим температуру из этого уравнения:

$T = \frac{PVM}{mR}$

Подставим известные значения и справочные данные:

$T = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 3 \text{ м}^3 \cdot 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \text{ кг} \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}} = \frac{9600}{16.62} \text{ К} \approx 577.6 \text{ К}$

Теперь мы можем рассчитать среднюю кинетическую энергию молекулы:

$\bar{E}_k = \frac{3}{2} \cdot 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 577.6 \text{ К} \approx 1.1955 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $\bar{E}_k \approx 1.2 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}$.