Номер 3, страница 324 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 12. Разность потенциалов. Энергия электростатического поля. Параграф 58. Потенциал электростатического поля и разность потенциалов. Задания и упражнения - номер 3, страница 324.

Условие.

3. Однородное электростатическое поле создано положительным точечным зарядом, модуль которого равен $4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$. Найдите:

а) потенциал этого поля на расстоянии 0,5 мм;

б) модуль скорости, с которой подлетает к заряду электрон, начавший своё движение из бесконечно удалённой от заряда точки.

Решение.

Дано:

Модуль точечного заряда, $q = 4 \cdot 10^{-7}$ Кл
Расстояние, $r = 0,5$ мм
Элементарный заряд, $e = -1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса электрона, $m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг
Коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:
$r = 0,5 \text{ мм} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

Найти:

a) потенциал поля $\phi$ на расстоянии $\text{r}$
б) модуль скорости электрона $\text{v}$

Решение:

В условии задачи указано, что поле однородное, однако поле, создаваемое точечным зарядом, является радиальным (неоднородным). Решение будет основано на формулах для поля точечного заряда.

а) Потенциал $\phi$ электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$ от него, вычисляется по формуле:

$\phi = k \frac{q}{r}$

Подставим известные значения в формулу:

$\phi = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{4 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}}{5 \cdot 10^{-4} \text{ м}} = \frac{9 \cdot 4}{5} \cdot 10^{9-7+4} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}}{\text{Кл}} = 7.2 \cdot 10^6 \text{ В}$

Ответ: потенциал этого поля на расстоянии 0,5 мм равен $7.2 \cdot 10^6$ В (или 7,2 МВ).

б) Для определения скорости электрона применим закон сохранения энергии. Электрон начинает движение из бесконечно удаленной точки, где его начальная скорость равна нулю, следовательно, начальная кинетическая энергия $K_1 = 0$. Потенциал поля на бесконечности также принимается равным нулю, поэтому начальная потенциальная энергия электрона $U_1 = 0$. Полная начальная энергия системы $W_1 = K_1 + U_1 = 0$.

Когда электрон приближается к заряду на расстояние $\text{r}$, его полная энергия $W_2$ складывается из кинетической $K_2$ и потенциальной $U_2$ энергий:

$W_2 = K_2 + U_2 = \frac{m_e v^2}{2} + e\phi$

где $\text{v}$ — искомая скорость электрона, $\text{e}$ — его заряд, $\phi$ — потенциал поля в конечной точке.

По закону сохранения энергии $W_1 = W_2$:

$0 = \frac{m_e v^2}{2} + e\phi$

Отсюда кинетическая энергия электрона равна работе поля, взятой с обратным знаком от изменения потенциальной энергии:

$\frac{m_e v^2}{2} = -e\phi$

Выражаем скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{-2e\phi}{m_e}}$

Подставим числовые значения, используя потенциал $\phi$, найденный в пункте а):

$v = \sqrt{\frac{-2 \cdot (-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (7.2 \cdot 10^6 \text{ В})}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{2.304 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{0.253 \cdot 10^{19} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx \sqrt{2.53 \cdot 10^{18} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 1.59 \cdot 10^9 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости, с которой подлетает к заряду электрон, равен примерно $1.59 \cdot 10^9$ м/с.