Номер 3, страница 345 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 12. Разность потенциалов. Энергия электростатического поля. Параграф 63. Энергия электростатического поля. Задания и упражнения - номер 3, страница 345.

Условие.

3. Каждая из пластин плоского конденсатора ёмкостью $\text{C}$ имеет площадь, равную $\text{S}$. Расстояние между пластинами равно $\text{d}$. Во сколько раз изменится:

a) ёмкость конденсатора, если увеличить расстояние между пластинами в два раза;

б) энергия электростатического поля заряженного конденсатора, если разность потенциалов между его пластинами равна $\Delta\varphi$;

в) объёмная плотность энергии электростатического поля заряженного конденсатора?

Решение.

Дано:

Начальная ёмкость: $C_1 = C$

Начальная площадь пластин: $S_1 = S$

Начальное расстояние между пластинами: $d_1 = d$

Начальная разность потенциалов: $\Delta\phi_1 = \Delta\phi$

Конечное расстояние между пластинами: $d_2 = 2d$

Конечная площадь пластин: $S_2 = S$

Данные в систему СИ переводить не требуется, так как решение символьное.

Найти:

а) $\frac{C_2}{C_1} - ?$

б) $\frac{W_2}{W_1} - ?$

в) $\frac{w_2}{w_1} - ?$

Решение:

Обозначим начальные параметры конденсатора индексом 1, а конечные — индексом 2.

а) ёмкость конденсатора, если увеличить расстояние между пластинами в два раза

Ёмкость плоского конденсатора определяется формулой:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $\text{S}$ — площадь пластин, $\text{d}$ — расстояние между ними.

Начальная ёмкость: $C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1}$.

Конечная ёмкость при $d_2 = 2d_1$:

$C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_2} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{2d_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1} = \frac{1}{2} C_1$.

Найдём отношение конечной ёмкости к начальной:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{1/2 \cdot C_1}{C_1} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, ёмкость конденсатора уменьшится в 2 раза.

Ответ: Ёмкость уменьшится в 2 раза.

б) энергия электростатического поля заряженного конденсатора, если разность потенциалов между его пластинами равна $\Delta\phi$

Будем исходить из предположения, что после зарядки конденсатор был отключён от источника напряжения. В этом случае заряд $\text{q}$ на его пластинах остаётся постоянным ($q = \text{const}$). Энергия заряженного конденсатора может быть вычислена по формуле:

$W = \frac{q^2}{2C}$

Начальная энергия: $W_1 = \frac{q^2}{2C_1}$.

Конечная энергия (учитывая, что $C_2 = C_1/2$ из пункта а):

$W_2 = \frac{q^2}{2C_2} = \frac{q^2}{2(C_1/2)} = \frac{q^2}{C_1} = 2 \cdot \frac{q^2}{2C_1} = 2W_1$.

Найдём отношение конечной энергии к начальной:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{2W_1}{W_1} = 2$.

Таким образом, энергия конденсатора увеличится в 2 раза. Это увеличение происходит за счёт работы, совершаемой внешней силой по раздвижению пластин.

Ответ: Энергия увеличится в 2 раза.

в) объёмная плотность энергии электростатического поля заряженного конденсатора?

Объёмная плотность энергии $\text{w}$ электростатического поля в конденсаторе может быть найдена по формуле:

$w = \frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon_0 E^2$

где $\text{E}$ — напряжённость электрического поля между пластинами.

Напряжённость поля в плоском конденсаторе связана с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ на пластинах:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon \varepsilon_0} = \frac{q}{S \varepsilon \varepsilon_0}$

Поскольку в нашем случае (изолированный конденсатор) заряд $\text{q}$ и площадь пластин $\text{S}$ не меняются, напряжённость электрического поля $\text{E}$ остаётся постоянной: $E_1 = E_2 = E$. Следовательно, объёмная плотность энергии также не изменится:

$w_1 = \frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon_0 E_1^2$

$w_2 = \frac{1}{2}\varepsilon \varepsilon_0 E_2^2 = w_1$

Найдём отношение конечной плотности энергии к начальной:

$\frac{w_2}{w_1} = 1$.

Таким образом, объёмная плотность энергии не изменится.

Ответ: Объёмная плотность энергии не изменится.