Номер 4, страница 350 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Лабораторные работы. 1. Исследование равноускоренного прямолинейного движения тела на модели - номер 4, страница 350.

Условие.

4. Поднимите бечёвку с шариками. Обратите внимание, что её нужно взять за шарик, который отстоит от конца бечёвки на единичный отрезок (см. рис. 269, б). Отпустите бечёвку. При этом можно услышать стук ударов шариков о пол. Убедитесь, что промежутки времени между ударами шариков одинаковы.

Решение.

Явление, при котором удары шариков о пол происходят через равные промежутки времени, не является случайностью. Оно объясняется законами свободного падения тел и специальным расположением шариков на бечёвке, которое было рассчитано заранее.

Решение

Когда бечёвку отпускают, все шарики начинают падать одновременно из состояния покоя. Их движение является свободным падением, то есть равноускоренным движением с ускорением свободного падения $g \approx 9.8 \, м/с^2$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Время $\text{t}$, за которое тело, падающее без начальной скорости, проходит расстояние (высоту) $\text{h}$, определяется по формуле:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Из этой формулы можно выразить время падения в зависимости от высоты:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Как видно из формулы, время падения зависит от начальной высоты: чем больше высота, тем дольше падает тело.

Пусть на бечёвке закреплено несколько шариков, которые мы пронумеруем снизу вверх: 1, 2, 3, и так далее. Пусть $h_1, h_2, h_3, \dots$ — это начальные высоты соответствующих шариков над полом. Тогда время падения для каждого шарика будет:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$, $t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$, $t_3 = \sqrt{\frac{2h_3}{g}}, \dots, t_n = \sqrt{\frac{2h_n}{g}}$

В эксперименте наблюдается, что промежутки времени между последовательными ударами шариков о пол одинаковы. Обозначим этот постоянный промежуток времени как $\tau$. Это означает, что времена падения шариков $t_1, t_2, t_3, \dots$ образуют арифметическую прогрессию. Если мы предположим, что время падения первого, самого нижнего, шарика равно $\tau$, то времена падения для остальных шариков должны быть:

$t_1 = \tau$
$t_2 = 2\tau$
$t_3 = 3\tau$
...
$t_n = n\tau$

Чтобы это условие выполнялось, высоты $h_n$, на которых изначально находятся шарики, должны быть подобраны специальным образом. Найдем эти высоты, подставив значения времени в формулу для высоты:

$h_1 = \frac{g t_1^2}{2} = \frac{g\tau^2}{2}$
$h_2 = \frac{g t_2^2}{2} = \frac{g(2\tau)^2}{2} = 4 \cdot \frac{g\tau^2}{2} = 4h_1$
$h_3 = \frac{g t_3^2}{2} = \frac{g(3\tau)^2}{2} = 9 \cdot \frac{g\tau^2}{2} = 9h_1$
...
$h_n = \frac{g t_n^2}{2} = \frac{g(n\tau)^2}{2} = n^2 \cdot \frac{g\tau^2}{2} = n^2h_1$

Таким образом, для того чтобы удары шариков о пол звучали через равные промежутки времени, их начальные высоты должны относиться как квадраты натуральных чисел: $h_1 : h_2 : h_3 : \dots = 1^2 : 2^2 : 3^2 : \dots = 1 : 4 : 9 : \dots$. Именно такое расположение шариков на бечёвке и обеспечивает наблюдаемый эффект "ритмичных" ударов.

Ответ: Промежутки времени между ударами шариков одинаковы, потому что шарики на бечёвке расположены не на равных расстояниях друг от друга, а на таких высотах $h_n$ над полом, которые обеспечивают, чтобы времена их свободного падения $t_n = \sqrt{2h_n/g}$ образовывали арифметическую прогрессию. В частности, если высоты шариков отсчитывать от пола и они относятся как квадраты натуральных чисел ($1:4:9:16:\dots$), то времена их падения будут относиться как сами натуральные числа ($1:2:3:4:\dots$), и, следовательно, промежутки времени между последовательными ударами будут равны.