Теоретическое исследование, страница 73 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 14. Второй закон Ньютона. Принцип суперпозиции сил. Вопросы - страница 73.

Условие.

Теоретическое исследование

И. Ньютон в книге «Математические начала натуральной философии» формулирует второй закон механики в следующем виде: «Изменение количества движения* пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует». Сравните формулировку второго закона, данную Ньютоном, с одной из современных формулировок этого закона.

Покажите, что, когда масса тела, на которое действует сила, постоянна по модулю и направлению, а модуль скорости его движения мал по сравнению с модулем скорости света, эти формулировки имеют один и тот же физический смысл.

Решение.

Сравнение формулировки второго закона, данной Ньютоном, с современной формулировкой

Исаак Ньютон в своей работе «Математические начала натуральной философии» сформулировал второй закон следующим образом: «Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует».

Под «количеством движения» Ньютон понимал величину, которую мы сегодня называем импульсом тела. Импульс тела $ \vec{p} $ — это векторная величина, равная произведению массы тела $ m $ на его скорость $ \vec{v} $:

$ \vec{p} = m\vec{v} $

Тогда «изменение количества движения» за малый промежуток времени $ dt $ можно записать как $ d\vec{p} $. Согласно Ньютону, это изменение пропорционально силе $ \vec{F} $. В математической форме, выбрав соответствующую систему единиц, где коэффициент пропорциональности равен 1, это записывается как:

$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $ или $ \vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} $

Эта формулировка является наиболее общей и фундаментальной. Она применима даже в случаях, когда масса тела изменяется со временем (например, в движении ракеты).

Одна из современных (и наиболее распространенных в школьном курсе физики) формулировок второго закона Ньютона звучит так: «Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к телу сил и обратно пропорционально его массе».

Математически это выражается формулой:

$ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} $ или $ \vec{F} = m\vec{a} $

Основное отличие состоит в том, что формулировка Ньютона оперирует понятием изменения импульса, в то время как современная школьная формулировка — понятием ускорения. Как будет показано ниже, вторая является частным случаем первой.

Ответ: Формулировка Ньютона ($ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $) является более общей, так как она описывает изменение импульса и применима для систем с переменной массой. Современная школьная формулировка ($ \vec{F} = m\vec{a} $) является частным случаем формулировки Ньютона и справедлива только для тел с постоянной массой.

Доказательство эквивалентности формулировок при заданных условиях

Необходимо показать, что при выполнении двух условий — масса тела постоянна ($ m = const $) и его скорость много меньше скорости света ($ v \ll c $) — обе формулировки эквивалентны. Условие $ v \ll c $ означает, что мы работаем в рамках классической, а не релятивистской механики, где масса тела не зависит от скорости и является постоянной величиной.

Начнем с общей формулировки Ньютона:

$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $

Подставим в нее определение импульса $ \vec{p} = m\vec{v} $:

$ \vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} $

Чтобы найти производную от произведения, воспользуемся правилом дифференцирования: $ (uv)' = u'v + uv' $. В нашем случае это выглядит так:

$ \vec{F} = \frac{dm}{dt}\vec{v} + m\frac{d\vec{v}}{dt} $

Теперь воспользуемся условием, что масса тела постоянна ($ m = const $). Производная от постоянной величины по времени равна нулю:

$ \frac{dm}{dt} = 0 $

Тогда первое слагаемое в выражении для силы обращается в ноль:

$ \frac{dm}{dt}\vec{v} = 0 $

И уравнение принимает вид:

$ \vec{F} = m\frac{d\vec{v}}{dt} $

По определению, производная скорости по времени есть ускорение:

$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} $

Подставляя это в наше уравнение, мы получаем современную формулировку второго закона Ньютона:

$ \vec{F} = m\vec{a} $

Таким образом, мы показали, что при постоянной массе тела (что справедливо в классической механике при нерелятивистских скоростях), исходная формулировка Ньютона сводится к более простой и широко известной форме $ \vec{F} = m\vec{a} $, то есть они имеют один и тот же физический смысл.

Ответ: При условии постоянства массы ($ m = const $), общая формулировка второго закона Ньютона $ \vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} $ преобразуется в $ \vec{F} = m\frac{d\vec{v}}{dt} $, что с учетом определения ускорения $ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} $ дает $ \vec{F} = m\vec{a} $. Это доказывает, что в данных условиях обе формулировки эквивалентны.